如何計算n個圓的聯集面積

如何計算n個圓的聯集面積

前言

一般人第一次遇到這個問題，可能會想要想辦法用排容原理，找圓之間交疊的凸包之類的...。

然而我只要舉一個例子，你就會發現我們就算把凸包找出來了，我們也非常難知道找到的凸包到底是要減掉還是要加上這個面積。



來源

我們會發現包含中空的那個四邊形，我們不容易知道到底那塊要不要加上。

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想法

我們可以利用線積分，對圓的聯集的邊界逆時鐘積分，就可以得到面積。

首先我們需要得到邊界，也就是沒有被別的圓包含的圓弧。要得到這個我們可以對於某個圓\(c_i\)去遍歷所有別的圓\(c_j,i\neq j\)，把交疊得到的圓弧記下來，那麼沒被記下來的圓弧就是我們要積分的部分了。

對於圓\(a,b\)，我們只需要考慮三種狀況(\(d=|a.center-b.center|\)):

1. same(a.radius+b.radius,d)
2. d<=abs(a.radius-b.radius)+eps
3. d<abs(a.radius+b.radius)-eps

接著我們可以利用\(d,a.radius,b.radius\)和餘弦定理來計算圓弧的角度範圍(以平行\(x\)軸為角度\(0\))。

接著我們來看對於一個圓\(c_i\)，圓心在\((x_0,y_0)\)，對於圓弧\([0,\theta]\)積分所得到的值:

\(\int_\Gamma