P4292 [WC2010]重建计划 点分治+单调队列

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分析

看到比值的形式就想到 \(01分数规划\)，二分答案

设当前的值为 \(mids\)

如果存在\(\frac{\sum _{e \in S} v(e)}{|S|} \geq mids\)

那么 \(\sum _{e \in S} v(e)-|S| \times mids \geq 0\)

我们把每一条边的权值减去 \(mids\)

问题就变成了找出一条长度在 \([l,r]\) 之间的简单路径

是的路径的长度大于等于 \(0\)

我们可以开一个权值线段树去维护，但这样复杂度就变成了 \(nlog^3n\)

实际上，我们可以把寻找路径时的 \(dfs\) 换成 \(bfs\)

这样就相当于自动给路径的长度排好了序，可以直接用单调队列维护

因为每一次单调队列都要从 \(0\) 枚举到 \(min(r,maxdep)\)

因为你记录最大值的数组最多只会更新到 \(maxdep\)，所以枚举多了没用

为了保证复杂度，我们要提前把子树按照子树内最大深度从小到大排序，使得 \(maxdep\) 尽可能小

还可以提前建出点分树，避免每一次 \(dfs\) 重新找重心浪费时间

时间复杂度 \(nlog^2n\)

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=4e5+5;
int h[maxn],tot=1,n,m,lef,rig;
struct asd{
	int to,nxt,preval;
	double val;
}b[maxn];
void ad(rg int aa,rg int bb,rg int cc){
	b[tot].to=bb;
	b[tot].nxt=h[aa];
	b[tot].preval=cc;
	h[aa]=tot++;
}
struct Node{
	int num,dep,id;
	Node(){}
	Node(rg int aa,rg int bb,rg int cc){
		num=aa,dep=bb,id=cc;
	}
};
std::vector<Node> pre[maxn];
bool cmp(rg Node aa,rg Node bb){
	return aa.dep<bb.dep;
}
int dep[maxn];
void dfs(rg int now,rg int lat,rg int nowdep){
	dep[now]=nowdep;
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int u=b[i].to;
		if(u==lat) continue;
		dfs(u,now,nowdep+1);
		dep[now]=std::max(dep[now],dep[u]);
	}
}//预处理子树最大深度
int siz[maxn],maxsiz[maxn],rt,totsiz,jud[maxn],tim,tp;
bool vis[maxn];
std::vector<int> g[maxn];
void getroot(rg int now,rg int lat){
	siz[now]=1,maxsiz[now]=0;
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int u=b[i].to;
		if(u==lat || vis[u]) continue;
		getroot(u,now);
		siz[now]+=siz[u];
		maxsiz[now]=std::max(maxsiz[now],siz[u]);
	}
	maxsiz[now]=std::max(maxsiz[now],totsiz-siz[now]);
	if(maxsiz[now]<maxsiz[rt]) rt=now;
}//找重心
void predfs(rg int now){
	vis[now]=1;
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int u=b[i].to;
		if(!vis[u]){
			pre[now].push_back(Node(u,dep[u],i));
		}
	}
	std::sort(pre[now].begin(),pre[now].end(),cmp);
	for(rg int i=0;i<pre[now].size();i++){
		rg int u=pre[now][i].num;
		totsiz=siz[u],rt=0;
		getroot(u,now);
		g[now].push_back(rt);
		predfs(rt);
	}
}//建好点分树，并按照最大深度从小到大排序
double ans=-1e7,mmax[maxn];
struct jie{
	double val;
	int dep;
	jie(){}
	jie(rg double aa,rg int bb){
		val=aa,dep=bb;
	}
}sta[maxn];
int q1[maxn],q2[maxn],nhead,ntail;
double q3[maxn];
void bfs(rg int now,rg double nval,rg int ndep){
	tim++;
	jud[now]=tim,nhead=ntail=1;
	q1[1]=now,q2[1]=ndep,q3[1]=nval;
	rg int now1,now2;
	rg double now3;
	while(nhead<=ntail){
		now1=q1[nhead],now2=q2[nhead],now3=q3[nhead];
		sta[++tp]=jie(now3,now2);
		nhead++;
		for(rg int i=h[now1];i!=-1;i=b[i].nxt){
			rg int u=b[i].to;
			if(jud[u]==tim || vis[u]) continue;
			jud[u]=tim;
			ntail++;
			q1[ntail]=u,q2[ntail]=now2+1,q3[ntail]=now3+b[i].val;
		}
	}
}//bfs寻找路径
int q[maxn],head,tail;
void solve(rg int now){
	vis[now]=1,tp=1;
	rg int beg=0,cs=0,tl=0,tr=0,maxdep=0;
	mmax[0]=0;
	for(rg int i=0;i<pre[now].size();i++){
		rg int u=pre[now][i].num;
		beg=tp+1;
		bfs(u,b[pre[now][i].id].val,1);
		head=1,tail=0,cs=beg;
		for(rg int j=std::min(rig,maxdep);j>=0;j--){
			tl=j>=lef?0:lef-j,tr=rig-j;
			while(head<=tail && sta[q[head]].dep<tl) head++;
			while(cs<=tp && sta[cs].dep<tl) cs++;
			while(cs<=tp && sta[cs].dep<=tr){
				while(head<=tail && sta[cs].val>=sta[q[tail]].val) tail--;
				q[++tail]=cs++;
			}
			if(head<=tail) ans=std::max(ans,sta[q[head]].val+mmax[j]);
		}
		for(rg int j=beg;j<=tp;j++) mmax[sta[j].dep]=std::max(mmax[sta[j].dep],sta[j].val);
		maxdep=std::max(maxdep,sta[tp].dep);
	}
	if(ans>=0) return;
	for(rg int i=1;i<=tp;i++) mmax[sta[i].dep]=-1e9;
	for(rg int i=0;i<g[now].size();i++) solve(g[now][i]);
}//点分治核心+单调队列
bool pd(rg double mids){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(jud,0,sizeof(jud));
	for(rg int i=0;i<maxn;i++) mmax[i]=-1e7;
	ans=-1e7,tim=0;
	for(rg int i=1;i<tot;i++) b[i].val=(double)b[i].preval-mids;
	solve(rt);
	return ans>=0;
}//判断答案是否合法
int main(){
	memset(h,-1,sizeof(h));
	n=read(),lef=read(),rig=read();
	rg int aa,bb,cc;
	for(rg int i=1;i<n;i++){
		aa=read(),bb=read(),cc=read();
		ad(aa,bb,cc);
		ad(bb,aa,cc);
	}
	dfs(1,0,0);
	maxsiz[0]=0x3f3f3f3f,rt=0,totsiz=n;
	getroot(1,0);
	predfs(rt);
	totsiz=n,rt=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	getroot(1,0);
	double l=0,r=1e6,mids;
	for(rg int i=1;i<=33;i++){
		mids=(l+r)/2.0;
		if(pd(mids)) l=mids;
		else r=mids;
	}
	printf("%.3f\n",mids);
	return 0;
}