[2019HDU多校第一场][HDU 6584][G. Meteor]

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6584

题目大意：求所有满足\(0<\frac{p}{q}\leq1, gcd(p,q)=1,p\leq n,q\leq n\)的分数中，第\(k\)小的分数

题解：考虑二分答案，并用分数形式记录。假设当前二分的分数为\(\frac{p}{q}\)，则小于等于这个分数的个数为

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{pi}{q} \right \rfloor}[gcd(i,j)==1]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{pi}{q} \right \rfloor}\sum_{d|i,d|j}^{ }\mu(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}^{ }\mu(d)\left \lfloor \frac{pi}{qd} \right \rfloor=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\left \lfloor \frac{pi}{q} \right \rfloor$$

　　　这个式子可以通过预处理莫比乌斯函数的值，然后分块加类欧做到\(O(\sqrt{n}logn)\)的时间复杂度求解

　　　在二分出答案后，只需找到最小的大于等于\(\frac{p}{q}\)的分数即可。官方题解使用了\(Stern-Brocot Tree\)，实际上通过枚举分母也可以做到\(O(n)\)求解

我的代码跑了7347ms...和之前的A还有K题一样极限_(:з」∠)_

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define N 1000001
 #define LL long long
 LL T,n,k,cnt,p[N],mu[N],v[N];
 #undef LL
 struct Frac
 {
     #define LL __int128
     LL p,q;
     void simp()
       {
       LL d=__gcd(p,q);
       p/=d,q/=d;
       }
     Frac operator +(const Frac &t)const
       {
       Frac tmp;
       tmp.q=q*t.q;
       tmp.p=p*t.q+q*t.p;
       tmp.simp();
       return tmp;
       }
     Frac operator /(const LL &t)const
       {
       Frac tmp;
       tmp.p=p;
       tmp.q=q*t;
       tmp.simp();
       return tmp;
       }
     bool operator <(const Frac &t)const
       {
       return p*t.q<q*t.p;
       }
     bool operator <=(const Frac &t)const
       {
       return p*t.q<=q*t.p;
       }
     #undef LL
 };
 void pretype()
 {
     #define LL long long
     mu[]=;
     for(LL i=;i<N;i++)
       {
       if(!v[i])p[++cnt]=i,mu[i]=-;
       for(LL j=;j<=cnt && i*p[j]<N;j++)
         {
         v[i*p[j]]=;
         if(i%p[j]==)break;
         mu[i*p[j]]=-mu[i];
         }
       }
     for(LL i=;i<N;i++)
       mu[i]+=mu[i-];
     #undef LL
 }
 #define LL __int128
 LL f(LL a,LL b,LL c,LL n)
 {
     LL m=(a*n+b)/c;
     if(!a || !m)return ;
     if(a>=c || b>=c)return n*(n+)/*(a/c)+(b/c)*(n+)+f(a%c,b%c,c,n);
     return n*m-f(c,c-b-,a,m-);
 }
 LL check(Frac k)
 {
     LL res=;
     for(LL i=;i<=n;i++)
       {
       LL j=n/(n/i);
       res+=(mu[j]-mu[i-])*f(k.p,,k.q,n/i);
       i=j;
       }
     return res;
 }
 LL ceil(LL x,LL y){return (x-)/y+;}
 #undef LL
 void Find(Frac k)
 {
     #define LL long long
     Frac ans={,};
     for(LL i=;i<=n;i++)
       ans=min(ans,{ceil(k.p*i,k.q),i});
     ans.simp();
     printf("%lld/%lld\n",(LL)ans.p,(LL)ans.q);
 }
 void init()
 {
     scanf("%lld%lld",&n,&k);
     Frac l={,n},r={,},mid;
     while(l+(Frac){,n*n}<=r)
       {
       mid=(l+r)/;
       if(check(mid)<k)l=mid;
       else r=mid;
       }
     Find(l);
 }
 int main()
 {
     //freopen("test.in","r",stdin);
     //freopen("test.out","w",stdout);
     pretype();
     scanf("%lld",&T);
     while(T--)init();
     return ;
 }