Distinct Subsequences（不同子序列的个数）——b字符串在a字符串中出现的次数、动态规划

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences ofT inS.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie,"ACE" is a subsequence of"ABCDE" while "AEC" is not).

Here is an example:
S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

简单翻译一下，给定两个字符串S和T，求S有多少个不同的子串与T相同。S的子串定义为在S中任意去掉0个或者多个字符形成的串。

递归求解：

首先找到在S中与T的第一个字符相同的字符，从这个字符开始，递归地求S和T剩下的串。T为空串时，返回1。因为空串本身是另外一个串的一个子序列。这个算法实现简单，但是果然不出意料，大集合超时。

Java代码：

 public int numDistinct(String S, String T) {
   // Start typing your Java solution below
   // DO NOT write main() function
   if (S.length() == 0) {
     return T.length() == 0 ? 1 : 0;
   }
   if (T.length() == 0) {
     return 1;
   }
   int cnt = 0;
   for (int i = 0; i < S.length(); i++) {
     if (S.charAt(i) == T.charAt(0)) {
       cnt += numDistinct(S.substring(i + 1), T.substring(1));
     }
   }
   return cnt;
 }  

遇到这种两个串的问题，很容易想到DP。但是这道题的递推关系不明显。可以先尝试做一个二维的表int[][] dp，用来记录匹配子序列的个数（以S ="rabbbit",T = "rabbit"为例）：

r a b b b i t

1 1 1 1 1 1 1 1

r 0 1 1 1 1 1 1 1

a 0 0 1 1 1 1 1 1

b 0 0 0 1 2 3 3 3

b 0 0 0 0 1 3 3 3

i 0 0 0 0 0 0 3 3

t 0 0 0 0 0 0 0 3

从这个表可以看出，无论T的字符与S的字符是否匹配，dp[i][j] = dp[i][j - 1].就是说，假设S已经匹配了j - 1个字符，得到匹配个数为dp[i][j - 1]（即若S[j]!=T[i]，则该出现次数等于T[0-i]在S[0-(j-1)]出现的次数）.现在无论S[j]是不是和T[i]匹配，匹配的个数至少是dp[i][j - 1]。除此之外，当S[j]和T[i]相等时，我们可以让S[j]和T[i]匹配，然后让S[j - 1]和T[i - 1]去匹配（T[0-(i-1)]在S[0-(j-1)]出现的次数*(T[i]==S[j])=1)
所以递推关系为：

dp[0][0] = 1; // T和S都是空串.

dp[0][1 ... S.length() - 1] = 1; // T是空串，S只有一种子序列匹配。

dp[1 ... T.length() - 1][0] = 0; // S是空串，T不是空串，S没有子序列匹配。

dp[i][j] = dp[i][j - 1] + (T[i - 1] == S[j - 1] ? dp[i - 1][j - 1] : 0).1 <= i <= T.length(), 1 <= j <= S.length()

 class Solution {
 public:
     int numDistinct(string S, string T) {
         if(S.empty()||T.empty()) return ;
         if(S.length()<T.length()) return ;
         int dp[T.length()+][S.length()+];
         dp[][]=;
         for(int i=;i<=T.length();i++){
             dp[i][]=;
         }
         for(int j=;j<=S.length();j++){
             dp[][j]=;
         }
         for(int i=;i<=T.length();i++){
             for(int j=;j<=S.length();j++){
                 dp[i][j]=dp[i][j-];
                 if(T[i-]==S[j-])
                     dp[i][j]+=dp[i-][j-];
             }
         }
         return dp[T.length()][S.length()];
     }
 };