BZOJ1485: [HNOI2009]有趣的数列(Catalan数,质因数分解求组合数)

题意

挺简洁的。

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

(2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

(3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Sol

打表后发现时Catalan数。

通项公式：$\frac{C_{2n}^n}{n + 1}$

/*

*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include<ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#define Pair pair<int, int>
#define MP(x, y) make_pair(x, y)
#define fi first
#define se second
//#define int long long
#define LL long long
#define rg register
#define sc(x) scanf("%d", &x);
#define pt(x) printf("%d ", x);
#define db(x) double x
#define rep(x) for(int i = 1; i <= x; i++)
//#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1<<22, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
//char buf[(1 << 22)], *p1 = buf, *p2 = buf;
char obuf[<<], *O = obuf;
#define OS  *O++ = ' ';
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
const int MAXN = 1e5 + , INF = 1e9 + , mod = 1e9 + ;
const double eps = 1e-;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = , f = ;
    while(c < '' || c > '') {if(c == '-') f = -; c = getchar();}
    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
    return x * f;
}
int N;
int a[MAXN], js[MAXN];
bool check() {
    for(int i = ; i <= N - ; i += )
        if(a[i] >= a[i + ]) return ;

    for(int i = ; i <= N - ; i += )
        if(a[i] >= a[i + ]) return ;

    for(int i = ; i <= N - ; i += )
        if(a[i] >= a[i + ]) return ;
    return ;
}
main() {
    while() {
        N = read() << ;
        js[] = ;
        for(int i = ; i <= N; i++) js[i] = i * js[i - ];
        for(int i = ; i <= N; i++) a[i] = i;
        int ans = ;
        for(int i = ; i <= js[N]; i++) {
            if(check())
                ans++;
            next_permutation(a + , a + N + );
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return ;
}
/*
1 2 5 14 42 132
*/

打表程序

注意这里的模数不是质数，因此我们没法用逆元来求。

这里有一种最差$O(nlogn)$的算法

首先将每个数质因数分解，统计出每个质数的出现次数(除的话就是减去)

最后一起算即可

考虑到每个数的最小的质因数$ \geqslant 2$，因此极限复杂度为$O(n log n)$

/*
*/
#include<cstdio>
//#define int long long
#define LL long long
const int MAXN =  * 1e6 + ;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = , f = ;
    while(c < '' || c > '') {if(c == '-') f = -; c = getchar();}
    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, mod, prime[MAXN], vis[MAXN], tot, mn[MAXN], num[MAXN];
void GetPhi(int N) {
    vis[] = ;
    for(int i = ; i <= N; i++) {
        if(!vis[i]) prime[++tot] = i, mn[i] = tot;
        for(int j = ; j <= tot && (i * prime[j] <= N); j++) {
            vis[i * prime[j]] = ; mn[i * prime[j]] = j;
            if(!(i % prime[j])) break;
        }
    }
}
void insert(int x, int opt) {
    while(x != ) num[mn[x]] += opt, x = x / prime[mn[x]];
}
int fastpow(int a, int p) {
    int base = ;
    while(p) {
        if(p & ) base = (1ll * base * a) % mod;
        a = (1ll * a * a) % mod; p >>= ;
    }
    return base;
}
main() {
    N = read(); mod = read();
    GetPhi( * N);
    for(int i = N + ; i <=  * N; i++) insert(i, );
    for(int i = ; i <= N; i++) insert(i, -);
    insert(N + , -);
    LL ans = ;
    for(int i = ; i <= tot; i++)
        if(num[i])
            ans = (1ll * ans * fastpow(prime[i], num[i])) % mod;
    printf("%lld", ans);

    return ;
}
/*
6 100
1 2 5 14 42 132
*/