UVA12103 —— Leonardo's Notebook —— 置换分解

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-12103

题意：

给出大写字母“ABCD……Z”的一个置换B，问是否存在一个置换A，使得A^2 = B。

题解：

对于置换，有以下结论：

其中“结论三”是一般性结论。

因此：

1.对于长度为len的循环T，则T^2为gcd(len,2)个循环。即：当len为偶数时，T^2分解成gcd(len,2)=2个循环，且每个循环的长度为len/2；当len为奇数时，T为gcd(len,2)=1个循环。

2.根据第一点的分析，将置换B分解成若干个循环，并统计每种长度下循环的个数。

3.在A^2里面：对于长度len为奇数的循环，它可以是在A-->A^2的过程中由一个长度len为奇数的循环演变过来的，也有可能是在A-->A^2的过程中由一个长度为2*len的循环分裂过来。对于长度len为偶数的循环，它必定是在在A-->A^2的过程中由一个长度为2*len的循环分裂过来。

4.根据第3点，可知：对于A^2的循环，奇数长度的循环没有要求，但偶数长度的循环必定是成双成对的，因此才能由一个偶数长度的循环分裂成两个等成的循环。

代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <string>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int INF = 2e9;
 const LL LNF = 9e18;
 const int MOD = 1e9+;
 const int MAXN = ;

 char str[MAXN];
 int cnt[MAXN], vis[MAXN];

 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d", &T);
     while(T--)
     {
         scanf("%s", str);
         memset(cnt, , sizeof(cnt));
         memset(vis, , sizeof(vis));
         for(int i = ; i<; i++)
         if(!vis[i])
         {
             int j = i, n = ;
             do
             {
                 vis[j] = ;
                 j = str[j]-'A';
                 n++;
             }while(j!=i);
             cnt[n]++;
         }

         bool flag = true;
         for(int i = ; i<=; i += )
             if(cnt[i]%)
                 flag = false;
         printf("%s\n", flag?"Yes":"No");
     }
 }