bzoj 1951 [Sdoi2010]古代猪文（数论知识）

【题目链接】

　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1951

【思路】

一道优(e)秀(xin)的数论题。

首先我们要求的是(G^sigma{ C(n,n/i),i|n })%P，即G^M %P，根据费马小定理G^(P-1) ≡1(mod P),我们要求的就是G^(M%(P-1)) %P。

考虑C(n,i)%(P-1)，由于n i P都比较大所以不好求组合数。发现P-1可以分解质因数为2,3,4679,35617，将C(n,i)对每一个质因子取模，会得到一个形为x≡ ai(mod pi)的模线性方程组，可以用中国剩余定理确定x。对于C(n,i)%p，此时p比较小，我们可以用lucas定理求解。

总的来说就是先用O(sqrt(n))的时间枚举约数，然后用lucas定理求出不同模数下的ai，最后联立方程组，中国剩余定理解。

注意当(G,P)!=1的时候费马小定理不成立，此时答案为0。

关于lucas的写法，a^p-2 %p是a在模p下的逆，因为a^(p-2) *a=a^(p-1)，由费马小定理得a^(p-1) %p=1，因此p必须满足为质数才能使用这种方法。

【定理】

1—  欧拉定理

当a与p互质时，a^phi(p) mod p=1

费马小定理即欧拉定理在p为质数时的特例， a^(p-1)  ≡1 mod p

2—  Lucas定理

C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)

【代码】

 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 using namespace std; 

 typedef long long LL;
 const int N = ;
 const LL mod[]={,,,,}; 

 LL fac[][N],a[],n,G;

 void gcd(LL a,LL b,LL &x,LL& y) {
     if(!b) { x=;y=; }
     else gcd(b,a%b,y,x) , y-=x*(a/b);
 }
 LL pow(LL x,LL p,LL MOD) {
     LL ans=;
     while(p) {
         if(p&) ans=(ans*x)%MOD;
         x=(x*x)%MOD; p>>=;
     }
     return ans;
 }
 LL C(LL n,LL m,int x) {
     if(n<m) return ;
     return (fac[x][n]*pow(fac[x][n-m]*fac[x][m],mod[x]-,mod[x]))%mod[x];
 }
 LL lucas(LL n,LL m,int x) {
     if(!m) return ;
     return lucas(n/mod[x],m/mod[x],x)*C(n%mod[x],m%mod[x],x)%mod[x];
 }
 LL china() {
     LL M=,d,x,y,ans=;
     for(int i=;i<;i++) M*=mod[i];
     for(int i=;i<;i++) {
         d=M/mod[i];
         gcd(d,mod[i],x,y);
         ans=(ans+d*x*a[i])%M;
     }
     while(ans<=) ans+=M;
     ans=(ans+M)%M;
     return ans;
 }
 void get_fac() {
     for(int i=;i<;i++) {
         fac[i][]=;
         for(int j=;j<=mod[i];j++)
             fac[i][j]=(fac[i][j-]*j)%mod[i];
     }
 }
 int main() {
     get_fac();
     scanf("%lld%lld",&n,&G);
     G%=mod[];
     if(!G) { puts(""); return ; }
     for(int i=;i*i<=n;i++) if(n%i==) {
         LL tmp=n/i;
         for(int j=;j<;j++) {
             a[j]=(a[j]+lucas(n,tmp,j))%mod[j];
             if(tmp!=i) a[j]=(a[j]+lucas(n,i,j))%mod[j];
         }
     }
     printf("%lld",pow(G,china(),mod[]));

     return ;
 }