POJ 1601 拓展欧几里得算法

学习链接：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

先来学习一下什么是欧几里得算法：

欧几里得原理是：两个整数a ，b的公约数等于b ，a%b这两个数的公约数。即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，他们的任何公约数都是相同的，所以他们的最大公约数也是相同的。

那么结合任何数和0的最大公约数都是他自己，就可以得出最大公约数的求解算法了。

 int gcd(int a, int b)
 {
     if(b==)
         return a;
     else
         return (b,a%b);
 }

下面是拓展欧几里得算法：

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：要证明这个式子成立，就是要找出整数对x，y。我们用递归的思想去寻找x，y。

1.显然当b=0时，gcd(a,b)=a,x = 1,y = 0;

2.ab!=0时，

假设：ax1+by1 = gcd(a,b);

bx2+(a % b)y2 = gcd(b,a%b);

又因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b),所以有

ax1 +by1 = bx2+(a%b)y2;

以此类推：ax1 +by1 = bx2+(a%b)y2 = ……=#xn +(*%#)yn;

由此可见当*%#==0时，就可以知道xn,yn,以及#，*的值，这时如果在知道xn，yn和x(n-1),y(n-1)之间的递推关系就可以求出x1，y1了。

求递推关系：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

证明的递推代码如下，也就是求x，y的代码：

 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 {
     if(b==)
     {
         x=;
         y=;
         return a;
     }
     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
     int t=x;
     x=y;
     y=t-a/b*y;
     return r;
 }

我觉得这个代码写的还是挺吊的，至少以现在我的水平来看；嗯，要加到递归学习中去。非递归代码也放在这儿了：

 int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
 {
     int x1,y1,x0,y0;
     x0=; y0=;
     x1=; y1=;
     x=; y=;
     int r=m%n;
     int q=(m-r)/n;
     while(r)
     {
         x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
         x0=x1; y0=y1;
         x1=x; y1=y;
         m=n; n=r; r=m%n;
         q=(m-r)/n;
     }
     return n;
 }

下面讲一下应用：欧几里得算法主要有三个方面的应用：

1.求解不定方程；

2.求解模线性方程；

3.求解模的逆元；

（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：（来源：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html）

对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
  上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

p * a+q * b = c的其他整数解满足：

  p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

  q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

  p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

相关证明可参考：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html