[luogu1357] 花园 [dp+矩阵快速幂]

题面：

传送门

思路：

把P形花圃记录为0，C形记录为1，那么一段花圃就可以状态压缩成一个整数

那么，我们可以有这样的状压dp：

dp[i][S]表示前i个花圃，最后m个的状态为S的情况

如果这是一条链的花圃，那么直接状压转移就可以了，但是这道题是一个环

一个环上，前m-1个花圃会影响到后m-1个花圃的状态

因此我们考虑把这个环后面再“长出”m个花圃来，消除这种影响

具体做法是：

枚举所有合法的状态S，令dp[1][S]=1，其余为零，代表前m个的状态确定了然后递推

最后把dp[n+1][S]加入答案，代表最后m个（第1～0-m+1个）的状态为S

由于n比较大，因此需要预处理出转移，写成矩阵快速幂的形式（因为这里的递推显然是线性的）

Code：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define mx 1e16
 #define ll long long
 using namespace std;
 inline ll read(){
     ll re=,flag=;char ch=getchar();
     while(ch>''||ch<''){
         if(ch=='-') flag=-;
         ch=getchar();
     }
     while(ch>=''&&ch<='') re=(re<<)+(re<<)+ch-'',ch=getchar();
     return re*flag;
 }
 ll n,m,K,MOD=1e9+;
 struct ma{
     ll a[][],n,m;
     ma(){memset(a,,sizeof(a));n=m=;}
     void clear(){memset(a,,sizeof(a));n=m=;}
     const ma operator *(const ma &b){
         ma re;re.n=n;re.m=b.m;ll i,j,k;
         for(i=;i<=n;i++){
             for(j=;j<=b.m;j++){
                 for(k=;k<=m;k++){
                     re.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j];
                     re.a[i][j]%=MOD;
                 }
             }
         }
         return re;
     }
     const void operator =(const ma &b){
         n=b.n;m=b.m;ll i,j;
         for(i=;i<=n;i++) for(j=;j<=m;j++) a[i][j]=b.a[i][j];
     }
 }A,B,ans;
 ll st[],cnt,in[];
 ll count(ll x){
     ll re=;
     while(x){
         if(x&) re++;
         x>>=;
     }
     return re;
 }
 ma ppow(ma x,ma y,ll t){
     while(t){
         if(t&) x=x*y;
         y=y*y;t>>=;
     }
     return x;
 }
 int main(){
     n=read();m=read();K=read();
     ll i,t1,t2,j;
     for(i=;i<(<<m);i++){
         if(count(i)<=K) st[++cnt]=i,in[i]=cnt;
     }
     A.n=;A.m=B.n=B.m=cnt;
     for(i=;i<=cnt;i++){
         t1=(st[i]<<)&((<<m)-);t2=t1+;
         if(in[t1]) B.a[i][in[t1]]=;
         if(in[t2]) B.a[i][in[t2]]=;
     }
     ll re=;
     for(i=;i<=cnt;i++){
         A.clear();A.a[][i]=;A.n=;A.m=cnt;
         ans=ppow(A,B,n);
         re+=ans.a[][i];re%=MOD;
     }
     printf("%lld",re%MOD);
 }