POJ 2151 Check the difficulty of problems：概率dp【至少】

题目链接：http://poj.org/problem?id=2151

题意：

　　一次ACM比赛，有t支队伍，比赛共m道题。

　　第i支队伍做出第j道题的概率为p[i][j].

　　问你所有队伍都至少做出一道，并且有队伍做出至少n道的概率。

题解：

　　关于【至少】问题的表示。

　　

　　对于每一支队伍：

　　　　mst[i][j] = P（第i支队伍做出至多j道题）

　　　　则 P（第i支队伍做出至少j道题） = 1 - mst[i][j-1]

　　

　　对于所有队伍：

　　　　P（所有队伍至少答出一题） = ∏ (1 - mst[i][0])

　　　　P（所有队伍答题数在1到n-1） = ∏ (mst[i][n-1] - mst[i][0])

　　　　所以答案：

　　　　P（所有队伍至少答出一题，且有队伍做出至少n道） = P（所有队伍至少答出一题） - P（所有队伍答题数在1到n-1）

　　所以求mst数组好啦~~~

　　dp[i][j][k] = probability

　　i：第i支队伍

　　j：考虑到前j道题（包含j）

　　k：恰好做出k道

　　所以 mst[i][j] = sigma(dp[i][m][0 to j])

　　怎么求dp数组呢：

　　　　转移：dp[i][j][k] = dp[i][j-1][k-1]*p[i][j] + dp[i][j-1][k]*(1-p[i][j])

　　　　边界：dp[i][0][0] = 1, others = 0

　　所以这道题：先求dp，再求mst，最后统计ans。

AC Code:

 // state expression:
 // dp[i][j][k] = probability
 // i: ith team
 // j: jth question and before
 // k: solved k questions
 // mst[i][j]
 // i: ith team
 // j: all the teams solved at most j questions
 //
 // find the answer:
 // P(all 1 to m) - P(all 1 to n-1)
 //
 // transferring:
 // dp[i][j][k] = dp[i][j-1][k-1]*p[i][j] + dp[i][j-1][k]*(1-p[i][j])
 //
 // boundary:
 // dp[i][0][0] = 1
 // others = 0
 //
 // calculate:
 // mst[i][j] = sigma dp[i][m][0 to j]
 // P1 = pi (1 - mst[i][0])
 // P2 = pi (mst[i][n-1] - mst[i][0])
 //
 // step:
 // 1) cal dp
 // 2) cal mst
 // 3) cal ans
 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_T 1005
 #define MAX_N 35
 #define MAX_M 35

 using namespace std;

 int n,m,t;
 double p1,p2;
 double p[MAX_T][MAX_M];
 double dp[MAX_T][MAX_M][MAX_M];
 double mst[MAX_T][MAX_M];

 void read()
 {
     for(int i=;i<=t;i++)
     {
         for(int j=;j<=m;j++)
         {
             cin>>p[i][j];
         }
     }
 }

 void cal_dp()
 {
     memset(dp,,sizeof(dp));
     for(int i=;i<=t;i++)
     {
         dp[i][][]=;
         for(int j=;j<=m;j++)
         {
             for(int k=;k<=m;k++)
             {
                 if(k->=) dp[i][j][k]+=dp[i][j-][k-]*p[i][j];
                 dp[i][j][k]+=dp[i][j-][k]*(-p[i][j]);
             }
         }
     }
 }

 void cal_mst()
 {
     // mst[i][j] = sigma dp[i][m][0 to j]
     memset(mst,,sizeof(mst));
     for(int i=;i<=t;i++)
     {
         for(int j=;j<=m;j++)
         {
             for(int k=;k<=j;k++)
             {
                 mst[i][j]+=dp[i][m][k];
             }
         }
     }
 }

 void cal_ans()
 {
     // P1 = pi (1 - mst[i][0])
     // P2 = pi (mst[i][n-1] - mst[i][0])
     p1=1.0;
     p2=1.0;
     for(int i=;i<=t;i++)
     {
         p1*=(-mst[i][]);
         p2*=(mst[i][n-]-mst[i][]);
     }
 }

 void solve()
 {
     cal_dp();
     cal_mst();
     cal_ans();
 }

 void print()
 {
     printf("%.3f\n",p1-p2);
 }

 int main()
 {
     while(cin>>m>>t>>n)
     {
         if(m== && t== && n==) break;
         read();
         solve();
         print();
     }
 }