线性DP 学习笔记

前言：线性DP是DP中最基础的。趁着这次复习认真学一下，打好基础。

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一·几点建议

1.明确状态的定义

比如：$f[i]$的意义是已经处理了前$i个元素，还是处理第$i$个元素？这对于后期的调试非常重要。

2.明确边界状态

比如：$f[0]$是等于$0$还是等于$1$又或是$f[0]=a[1]$？当然，只有明确了状态的定义，才能明确边界。

3.明确转移

要想明白转移的顺序。例如完全背包和01背包，其不同就在于$j$的枚举顺序不同。这不得不让人注意。

另一方面，DP的转移有两种写法，以线性DP为例：

1.要算$f[i]$,在$i$之前找转移：$f[i]=max/min(f[j]+value)$。

2.算完$f[i]$，用$f[i]$更新后面状态，$f[j]=max/min(f[i]+value)$。

根据问题的特殊性，灵活转换思路。

4.有时候DP可以转化成记忆化搜索

当冗余状态比较多时，可以用记忆化搜索，降低常数。

二.正题

给定一个序列$a_{i}$。求序列的最长上升子序列。

1.暴力枚举。不难得出状态转移方程：$f[i]=max(f[j]+1,f[i])$（当$j\leq i$并且$a[j]<a[i]$）时间复杂度$n^2$。

2.单调栈。设$f[i]$为长度为$i$的序列的最小末尾数值。

这种方法类似于贪心。很好理解，如果末尾的数值越小，那么更有可能把序列中后面的数加进来。时间复杂度$nlogn$。

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求两个串的最长公共子序列。

我们定义$f[i][j]$为第一个串前$i$个，第二个串前$j$个的最长公共子序列长度。

如果$a[i]=b[j]$，那么有$f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1)$。

如果不相等，考虑继承：$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])$。

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求一个序列的最大子段和。

1.暴力：$O(n^2)$。枚举左右端点。

2.分治：$O(nlogn)$。我一般用线段树实现。

3.动态规划。时间复杂度$O(n)$。设$f[i]$为从$i$开始向前延伸的最大子段和。则有$f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i])$。边界$f[1]=a[1]$。

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给定一个序列，将其划分成不超过$k$个子区间，最小化每个区间和的最大值。

我们设$f[i][j]$为已经处理了前$i$个元素，划分成$j$个区间的最大值。

1.暴力：时间复杂度$n^3$。有转移$f[i][j]=max(f[k][j],\sum_{i=k+1}^n a[i])$。

2.二分答案：刷表，看值是否都小于$mid$。

3.转化成“可行性解”。设$f[i]$为前$i$个数最少划分成多少段是合法的。则有$f[i]=min(f[j]+1|\sum_{k=j+1}^i a[k]<mid)$。

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后记：这里讲的都是模板，做题的时候还是要自己学会转化。有时候对于题面不清楚可以自己试着模拟一下，一般都能找到转移方法。