组合数学：Burnside引理和Polya定理解决染色置换问题

例题

给3x3的格子上色，4种颜色，可以重复。排除旋转后相同的情况，请问有多少种不同的上色方法？

解答

设格子编号如下：

| 1 | 2 | 3 |

| 4 | 5 | 6 |

| 7 | 8 | 9 |

每种旋转是为一种置换，定义为\(g_i\)，共4种置换：

\[g_1 = <旋转0° > \\
g_2 = <旋转90° > \\
g_3 = <旋转180° > \\
g_4 = <旋转270° >
\]

\(D(g_i)\)表示在\(g_i\)这种置换的作用下没有改变状态的方案集合，\(|D(g_i)|\)表示其元素个数。以下分情况讨论：

• 旋转\(0°\)
  
  旋转0°怎么都不会变, 计算随便涂的总数即可：

\[|D(g_1)| = 4^9
\]

• 旋转\(90°\)

  {1、3、7、9}循环变换，{2、4、6、8}循环变换， {5}永远不变，置换群为(1379)(2468)(5)，(1379)可取4种颜色，(2468)可以取4种颜色， (5)可以取4种颜色，总方案数：

\[|D(g_2)| = 4^3
\]

• 旋转\(180°\)

  置换群为(19)(28)(37)(46)(5)，总方案数：

\[|D(g_3)| = 4^5
\]

• 旋转\(270°\)

  类似旋转90°，总方案数：

\[|D(g_4)| = 4^3
\]

根据Burnside引理，设\(G\)为所有置换的集合，总方案数：

\[L=\frac{1}{|G|} \sum_{\mathrm{i}=1}^{|G|}\left|D\left(g_{i}\right)\right| = \frac{1}{4}(4^9+4^3+4^5+4^3)=65824
\]

或直接用Polya定理，设\(m\)种颜色给\(n\)个对象染色，\(C_i\)为每种置换下的循环节,则有：

\[L=\frac{1}{|G|}\left[m^{C_{1}}+m^{C_{2}}+\cdots+m^{C_{g-1}}+m^{C_{g}}\right] = \frac{1}{4}(4^9+4^3+4^5+4^3)=65824
\]