Little Victor and Set 题解

Little Victor and Set

题目大意

在 \([l,r]\) 中选不超过 \(k\) 个相异的数使得异或和最小，输出方案。

思路分析

分类讨论：

• 当 \(k=1\) 时：

显然选 \(l\) 是最优的。

• 当 \(r-l+1\le 10\) 时：

直接 \(O(n2^n)\) 暴力枚举每个数选或不选即可。

（判了这个之后后面的很多讨论会简单很多。）

• 当 \(k=2\) 时：

我们发现两个不同的数的异或和最小为 \(1\)，因为当且仅当两个数相同时异或和为 \(0\)。

所以我们可以在 \([l,r]\) 内任找一个偶数 \(x\)，那么方案就是 \(x\) 和 \(x+1\)。

（因为 \(r-l+1>10\) 所以一定能找到）

• 当 \(k\ge 4\) 时：

容易发现对于任意 \(k\in N\)，均有 \(4k\oplus(4k+1)\oplus(4k+2)\oplus (4k+3)=0\)，所以我们只需要任取一个 \(k\) 就行了。

（因为 \(r-l+1>10\) 所以一定能找到）

• 当 \(k=3\) 时：

首先，我们可以按照 \(k=2\) 的方法得到异或和为 \(1\) 的答案，我们只需要考虑是否存在异或和为 \(0\) 的方案即可。

我们枚举 \(i,j\,(i>j)\)，构造 \(A=2^i+2^j,B=2^i+2^j-1,C=2^{j+1}-1\)，容易发现 \(A\oplus B\oplus C=0,A>B>C\)，考虑证明这样构造的合法性：

证明：

我们只需要证明如果存在异或和为 \(0\) 的选法，一定存在一种选法满足以上的形式即可。

将 \(A,B,C\) 的二进制形式列出：

\[\begin{cases} A=00...00100...00100...00\\
B=00...00100...00011...11\\
C=00...00000...00111...11\\
\qquad\;\;\;\;{\color{red}^1}\;\;\;\;\; i\;\;\;\;\;{\color{red}^2}\;\;\;\;j\;\;\;\;{\color{red}^3}\end{cases}\]

当 \(A\) 固定时，\(C\) 不可能更大，因为当 \(C\) 增大时，\({\color{red}2}\) 部分会多出若干 \(1\)，那么 \(B\) 就必须也在 \(2\) 部分增加若干 \(1\)，那么 \(B\) 就大于 \(A\) 了，不符合题设。

若 \(A\) 的二进制表示中 \(1\) 的个数大于 \(2\)，那么 \({\color{red}3}\) 部分会多出若干 \(1\)，\(B,C\) 中必要有一个在对应的位置去掉若干个 \(1\) 来满足异或和为 \(0\) 的条件，故要么 \(B\) 变小要么 \(C\) 变小，如果这时的 \(A,C\) 在 \([l,r]\) 的范围内，那么之前的 \(A,C\) 也一定在 \([l,r]\) 的范围内。

若 \(A\) 的二进制表示中只有一个 \(1\)，那么不存在满足条件的 \(B,C\)。

代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;
const int N = 200200, V = 40;
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define int long long

int l, r, k;

vector <int> ans;

void add(int x){
    ans.push_back(x);
}

template <typename types, typename... Args> void add(types x, Args... args){
    add(x), add(args...);
}

signed main(){
    cin >> l >> r >> k;
    if (k == 1) add(l);
    else if (r - l + 1 <= 10) {
        int len = r - l + 1, minans = inf, way = 0;
        for (int i = 1; i < (1ll << len); i ++) {
            int ans = 0, cnt = 0;
            for (int j = 0; j < len; j ++)
                if (i >> j & 1) {
                    ans ^= (l + j);
                    cnt ++;
                }
            if (cnt <= k && ans < minans) {
                minans = ans;
                way = i;
            }
        }
        for (int i = 0; i < len; i ++)
            if (way >> i & 1) add(l + i);
    }
    else if (k == 2) {
        if (l & 1) l ++;
        add(l, l + 1);
    }
    else if (k == 3) {
        int flag = 0;
        for (int i = 0; i <= V && !flag; i ++)
            for (int j = i + 1; j <= V; j ++) {
                int x = (1ll << i) | (1ll << j), y = x - 1, z = (x ^ y);
                if (x <= r && z >= l) {add(x, y, z); flag = 1; break;}
            }
        if (!flag) {
            if (l & 1) l ++;
            add(l, l + 1);
        }
    }
    else if (k >= 4) {
        for (int i = l; i <= l + 4; i ++)
            if (i % 4 == 0) {
                add(i, i + 1, i + 2, i + 3); break;
            }
    }
    int res = 0;
    for (auto it : ans) res ^= it;
    cout << res << '\n';
    cout << ans.size() << '\n';
    for (auto it : ans) cout << it << ' ';
    return 0;
}