五大基础dp

动规条件

• 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，

即满足最优化原理。

• 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后

的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

• 有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。

（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法

相比就不具备优势）

背包dp

• 01背包 （一件物品只能选一次）

https://tg.hszxoj.com/contest/897/problem/1

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for(int i=1; i<=n; i++){//外层循环物品
  for(int j=V; j>=v[i]; j--){//内层循环体积 倒叙循环
      dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i];
  }
}

• 完全背包 （不限制物品数量）

https://tg.hszxoj.com/contest/897/problem/4

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for(int i=1; i<=n; i++){//外层循环物品
  for(int j=v[i]; j<=V; j++){//内层循环体积 顺叙循环
     dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
  }
}

//二进制拆分
for(int i=1; i<=n; i++){
  for(int k=1; k<=V/v[i]; k<<=1){
     for(int j=V; j>=k*v[i]; j--){
       dp[j] = max(dp[j], dp[j-k*v[i]] + k*w[i]);
    }
  }
}

• 多重背包 （给定物品数量）

https://tg.hszxoj.com/contest/897/problem/6

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//与完全背包一样使用二进制拆分
if(si > m / vi) si = m / vi;
		for(int j=1; j<=si; j<<=1){
			v[++cnt] = j * vi;
			w[cnt] = j * wi;
			si -= j;
		}
		if(si){
			v[++cnt] = si * vi;
			w[cnt] = si * wi;
		}
	}
n = cnt;

• 混合背包

https://tg.hszxoj.com/contest/897/problem/11

将背包都使用二进制拆分转成01包计算

• 分组背包

https://tg.hszxoj.com/contest/897/problem/13

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a[p][++a[p][0]] = i;//a[p][0]是每组个数
for(int p=1; p<=t; p++){
	for(int j=v; j>=w[a[p][i]]; j--){
		for(int i=1; i<=a[p][0]; i++){
			f[j] = max(f[j], f[j-w[a[p][i]]] + c[a[p][i]]);
		}
	}
}

• 二维费用背包
  
  NASA的食物计划
  
  https://tg.hszxoj.com/contest/897/problem/12
  
  只需要把dp数组改成二维，第一维表示质量，第二维表示卡路里即可

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for(int i=1; i<=n; i++){
		for(int j=x; j>=v[i]; j--){
			for(int a=y; a>=m[i]; a--){
				f[j][a] = max(f[j][a], f[j-v[i]][a-m[i]] + k[i]);
			}
		}
	}

线性dp

顾名思义，线性DP就是在一条线上进行DP

例如：

最长上升序列

https://tg.hszxoj.com/contest/900/problem/1

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for(int i=1; i<=n; i++){
	dp[i] = 1;
	for(int j=1; j<i; j++){
		if(a[i] > a[j] and dp[i] < dp[j] + 1){
			dp[i] = dp[j] + 1;
			pre[i] = j;//记录前一位，方便输出
		}
	}
	if(ans < dp[i]){
		ans = dp[i];
		en = i;//记录结点
	}
}
//递归输出
void p(int x){
	if(!x) return;
	p(pre[x]);
	cout << a[x] << ' ';
}
//由结点开始递归即可

拦截导弹

https://tg.hszxoj.com/contest/900/problem/3

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for(int i=1; i<=n; i++){
	f[i] = 1;
	for(int j=1; j<i; j++){
		if(a[i] <= a[j]){
			f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
		}
	}
	ans = max(ans, f[i]);
}

区间dp

这里实际上是以区间长度为阶段的，这种DP我们通常称为区间DP。

区间DP的做法较为固定，即枚举区间长度，再枚举左端点，之后枚举区间的断点进行转移。

区间类型动态规划是线性动态规划的拓展，它在分阶段划分问题时，与阶段中元素出现的顺序和由前一阶段的哪些元素合并而来有很大的关系。（例：f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]）

区间类动态规划的特点：

• 合并：即将两个或多个部分进行整合。
• 特征：能将问题分解成为两两合并的形式。
• 求解：对整个问题设最优值，枚举合并点，将问题分解成为左右两个部分，最后将左右两个部分的最优值进行合并得到原问题的最优值。

石子合并<3>

https://tg.hszxoj.com/contest/903/problem/3

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for(int i=1; i<=n*2; i++){//环状就弄成二倍串
		s[i] = s[i-1] + a[i];//求前缀和
	}

for(int l=2; l<=n; l++){
	for(int i=1; i+l-1<=n*2; i++){
		int j = i + l - 1;
		g[i][j] = max(g[i+1][j], g[i][j-1]) + s[j] - s[i-1];
	}
}

坐标dp

坐标型dp一般都是给定网格、序列，来求满足某种性质的最大值、最小值。f[i][j]代表以i、j结尾的满足条件的某种情况。

晴天小猪历险记之Hill

https://tg.hszxoj.com/contest/906/problem/5

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dp[1][1] = s[1][1];
for(int i=2; i<=n; i++){
	for(int j=1; j<=i; j++){//从上到下遍历
		dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + s[i][j];
		dp[i][1] = min(dp[i-1][1], dp[i-1][i-1]) + s[i][1];
		dp[i][i] = min(dp[i-1][i-1], dp[i-1][1]) + s[i][i];
	}

	for(int j=i-1; j>=1; j--){//从右到左遍历
		dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j+1] + s[i][j]);
		dp[i][i] = min(dp[i][i], dp[i][1] + s[i][i]);
	}

	for(int j=2; j<=i; j++){//从左到右遍历
		dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1] + s[i][j]);
		dp[i][1] = min(dp[i][1], dp[i][i] + s[i][1]);
	}
}

树形dp

树形DP的特殊性：没有环，dfs是不会重复，而且具有明显而又严格的层数关系。利用这一特性，我们可以很清晰地根据题目写出一个在树（型结构）上的搜索的程序。而深搜的特点，就是“不撞南墙不回头”

没有上司的舞会

https://tg.hszxoj.com/contest/909/problem/1

使用链表加边，随后dfs进行搜索

dp[x][0] 表示自己不参加 dp[x][1] 表示自己参加

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void dfs(int x){
	for(int i=h[x]; i; i=nxt[i]){
		int y = to[i];
		dfs(y);

		dp[x][0] += max(dp[y][1], dp[y][0]);//直接上司不参加， 则下属是否参加取较大值
		dp[x][1] += dp[y][0];//直接上司参加，则下属一定不参加
	}
}

初始化时注意参加即为自己的快乐值，不参加则为0
搜索时从根节点开始搜