#prim，gcd#UVA12716 GCD XOR&洛谷 1550 [USACO08OCT]Watering Hole G

UVA12716 GCD XOR

题目

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^n[\gcd(i,j)==i\;xor\;j]
\]

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分析

首先来证明一下如果上式成立，那么\(i\;xor\;j=i-j(i>j)\)

当\(i=j\)时必然不可能相等，钦定\(i>j\)

那么\(i\;xor\;j\geq i-j\)，因为异或可以视为不退位的减法

并且\(\gcd(i,j)\leq i-j\)，当\(i\)与\(j\)互质时两式一定成立，

否则左右两边同时约掉最大公约数，那么依然成立（更相减损法也可以证明）

要想用\(i\;xor\;j=i-j\)证明\(gcd(i,j)=i\;xor\;j\)

就必须要满足\(gcd(i,j)=i-j\)，因为更相减损法，所以\(gcd(i,i-j)=gcd(i,j)\)

所以必须要满足\(gcd(i,i-j)=i-j\)那说明\(i\)是\(i-j\)的倍数，

那么枚举\(i-j\)和它的倍数\(i\),求出\(j\),然后用\(i\;xor\;j=i-j\)判断

由于\(i-(i-j)=j,i\;xor(i-j)\;=j\)所以可以直接用\(i\)和\(i-j\)判断即可

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代码

#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
int ans,n;
signed main(){
	scanf("%d",&n);
	for (rr int i=1;i<=n;++i)
	for (rr int j=2;j*i<=n;++j)
	    ans+=((j*i)^i)==j*i-i;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

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洛谷 1550 [USACO08OCT]Watering Hole G

题目

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分析

考虑建一个超级源点与所有点相连边权为开凿水井的费用，

那就是一道裸的最小生成树，用prim解决就可以了

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代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define rr register
using namespace std;
const int N=311;
int n,low[N],dis[N][N],ans,v[N];
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
signed main(){
	n=iut()+1,low[0]=1e9;
	for (rr int i=2;i<=n;++i) dis[1][i]=dis[i][1]=iut();
	for (rr int i=2;i<=n;++i)
	for (rr int j=2;j<=n;++j) dis[i][j]=iut();
	for (rr int i=1;i<=n;++i) low[i]=dis[1][i]; v[1]=1;
	for (rr int i=1;i<n;++i){
		rr int k=0;
		for (rr int j=1;j<=n;++j)
		if (low[k]>low[j]&&!v[j]) k=j;
		ans+=low[k],v[k]=1;
		for (rr int j=1;j<=n;++j)
		if (low[j]>dis[k][j]&&!v[j])
		    low[j]=dis[k][j];
	}
	return !printf("%d",ans);
}