[AGC058C] Planar Tree 题解
前言
赛时没做出来,赛后把题补了。果然是 maroonrk 出的,名不虚传啊……真的很好的一道题目。
解法
题目中的圆周有以下几个性质:
- 圆周上如果有相邻的等值,我们可以去掉一个而不改变答案(这个很好证明);
- 如果 \(1\) 和 \(2\) 相邻,那么擦去 \(1\) 不影响答案;同样的道理,如果 \(3\) 和 \(4\) 相邻,擦去 \(4\) 不影响答案。
我们定义“规范化”为尽可能地多执行以上操作的过程。
任何满足要求的树也都具有满足以下条件的边:
- 边连接的两个点在圆周上相邻;
- 其中一个点是树的叶子。
所以,我们可以通过执行以下操作来形成满足条件的树:
- 选择两个相邻且可连接的点并连接它们;
- 选择其中一个点作为叶子,将它从圆周上擦除。
那么,该如何利用上述操作来简化题目呢?
我们可以发现,在“规范化”后的圆周上,我们只有可能连接编号为 \(2\) 和 \(3\) 的点。假设我们将 \(2\) 当作那片被擦掉的叶子:
- 如果圆周上有这样的一段“弧”:\(\cdots,4,2,3,\cdots\),擦除了 \(2\) 之后 \(3\) 和 \(4\) 相邻,就可以进行“规范化”擦除,间接地相当于擦除了一对 \(2\) 和 \(4\);
- 如果圆周上有这样的: \(\cdots,3,2,3,\cdots\),那么按照上面的思路 \(2\) 和 \(3\) 也将被擦除;
- ……
考虑以下一系列操作:在“规范化”状态下执行上述操作,然后再次“规范化”……
如果我们也考虑把 \(3\) 当作叶子(擦除 \(3\)),这一系列操作每次可以擦除一对 \((2,3),(1,3)\) 或 \((2,4)\)。
如果可以重复上面的操作,且最终只有 \(2\) 和 \(3\) 在圆周上,我们就可以构造出满足条件的树。
所以,我们可以推出以下必要条件:
- 设圆环上 \(i\) 的数量为 \(C_i\),则 \(C_2>C_4\) 且 \(C_3>C_1\)。
我们可以看到,实际上它也是充分条件。因为如果有顶点 \(1\) 或 \(4\) 在圆上,那么我们可以擦除一对 \((1,3)\) 或 \((2,4)\)。
我们可以在 \(O(n)\) 的时间复杂度内解决这个问题。
实现
注意到,我的代码中有一个 \(f\) 数组,其中 \(f=\{2,2,3,3\}\)。但是因为我在实现中为方便处理,将所有输入的数减去了 \(1\),所以代码中 \(f=\{1,1,2,2\}\)。
它的作用是什么呢?判断相邻的两个点能否进行规范化操作!我们注意到,如果两个点编号为 \(i,j\),\(f_i=f_j\) 的必要条件为 \(i=j\) 或 \(|i-j|=1\)。
所以,如果 \(f_i=f_j\),假设 \(f_i=i\),就代表 \(i=2\) 或 \(i=3\),不管 \(j\) 是什么,擦掉 \(j\) 都是“规范化”过程中的合法操作。
最后再用 std::map
来统计每个数出现的数量,比较后输出即可。
放代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
int t,f[4]={1,1,2,2}; cin>>t;
while(t--){
int n; cin>>n;
vector<int> a;
for(int i=0;i<n;i++){
int x; cin>>x;
if(x--;i&&f[x]==f[a.back()]){
if(f[x]==x)a.back()=x;
}
else a.emplace_back(x);
}
if(f[a[0]]==f[a.back()]){
if(f[a[0]]==a.back())a[0]=a.back();
a.pop_back();
}
vector<int> m(4); for(int i:a)m[i]++;
cout<<(m[2]>m[0]&&m[1]>m[3]?"Yes\n":"No\n");
}
return 0;
}
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