codeforces 391E2 (【Codeforces Rockethon 2014】E2)

题目：http://codeforces.com/problemset/problem/391/E2

   题意：有三棵树。每棵树有ni个结点，加入两条边把这三棵树连接起来，合并成一棵树。使得合并的树中随意两点之间的最短路径

   的和最大。

分析：

   三棵树要合并成一棵树，则第一棵树必须选择一个点，如果为X。第二棵树必须选择两个点，如果为Y1, Y2，第三棵树必须选择一个点，如果为Z

   记第一棵树中全部结点到X的路径总和为：tot1

   第二棵树中全部结点到Y1，Y2的路径总和分别为：tot2, tot3

   第三棵树中全部结点到Z的路径总和为：tot4;

   共同拥有四种情况：

   1，每棵树内部的结点之间的距离为常数。能够求出树中一个点到剩余全部点的路径之和，把全部这种点的和相加再除以2就可以

   2，第一棵树和第二棵树这两棵树全部结点之间的距离，如果第一棵树选择结点X，第二棵树选择的左结点位Y1，

   则两棵树上随意两点a，b之间的距离。能够表示为：d(a, b) = d(a, X) + 1 + d(b, Y1),

   当中a为第一棵树的随意结点。b为第二棵树的随意结点。

   固定点a，变换bj。因为第二棵树有n2个结点，则这样的情况下的总的路径和为：(d(a, X) + 1) * n2 + sum(d(bj, Y1), j = 1, 2, ..., n2);

   再变换ai，则终于得到的路径和为：sum((d(ai, X) + 1) * n2 + sum(d(bj, Y1), j = 1, 2, ..., n2), i = 1, 2, ..., n1);

   终于结果为：sum(d(ai, X), i = 1, 2, ..., n1) * n2 + n2 * n1 + sum(d(bi, Y1), j = 1, 2, ..., n2) * n1;

   即tot1 * n2 + n2 * n1 + tot2 * n1;

   3,第二棵树和第三棵树这两棵树全部结点之间的距离，类似情况2，得到的终于结果为：tot3 * n3 + n2 * n3 + tot4 * n2;



   4，第一棵树和第三棵树全部结点之间的距离：每一条路径都能够表示为：d(a, c) = d(a, X) + 1 + d(Y1, Y2) + 1 + d(Z, c);

   终于结果为：tot1 * n3 + tot4 * n1 + n1 * n3 * d(Y1, Y2) + 2 * n1 * n3;



   综上所述，得到合并后树中结点之间的距离总和为：

   sum = (n2 + n3) * tot1 + (n1 + n2) * tot4 + n1 * n2 + n2 * n3 + 2 * n1 * n3 + n1 * tot2

    + n3 * tot3 + n1 * n3 * d(Y1, Y2) + 三棵树的内部路径;

   要使得总和最大。则tot1和tot4必须最大，上式中间部分为常数，则left = n1 * tot2 + n3 * tot3 + n1 * n3 * d(Y1, Y2)必须达到最大

   在tot2达到最大的情况下，即Y1确定时。枚举Y2使得left部分达到最大，就可以。

这过程中要枚举三棵树的位置。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 100000 + 10;
struct Edge
{
    int y, next;
};
struct Tree
{
    LL n, head[MAXN], nodeCnt[MAXN], edgeCnt, dis[MAXN], pos, maxTot;
    LL curSum[MAXN], tot[MAXN], pathCnt;
    Edge edge[MAXN << 1];
    void addEdge(int x, int y)
    {
        edge[edgeCnt].y = y;
        edge[edgeCnt].next = head[x];
        head[x] = edgeCnt++;
    }

    void build(int n)
    {
        memset(head, -1, sizeof(head));
        this->n = n;
        int x, y;
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            scanf("%d%d", &x, &y);
            addEdge(x, y);
            addEdge(y, x);
        }
    }

    /*获得son这棵树的结点数nodeCnt[son]，包含该父结点。同一时候获得son这棵树中全部子结点到son的路径之和，保存在curSum[son]
    当中curSum[son] = sum(curSum[yi] + nodeCnt[yi], i = 1, 2, ...)，即全部子树的最短路径值加上子树的全部点数的和
    */
    void dfs0(int son, int fa)
    {
        nodeCnt[son] = 1;
        curSum[son] = 0;
        int y;
        for(int i = head[son]; i != -1; i = edge[i].next)
        {
            y = edge[i].y;
            if(y == fa)
            {
                continue;
            }
            dfs0(y, son);
            //回溯。已经获得子结点y的值
            nodeCnt[son] += nodeCnt[y];
            curSum[son] += curSum[y] + nodeCnt[y];
        }
    }

    //获得tot[son]，即全部点到son的路径之和
    void dfs1(int son, int fa, LL faLeft)
    {
        //当前son所在子树的路径之和，加上其它剩余部分到son的路径之和
        tot[son] = curSum[son] + faLeft;
        int y;
        for(int i = head[son]; i != -1; i = edge[i].next)
        {
            y = edge[i].y;
            if(y == fa)
            {
                continue;
            }
            /*要算全部结点到y的最短路径之和。除了y所在子树外，应该加入的值来源有三部分：
              son这棵树原先应加上的值。即整棵大树减去son子树剩余部分到son的路径和：faLeft，
              son这棵树除了y这棵子树全部结点到son的路径值外剩余的路径和：
              son这棵树的最短路径和 - y这棵树的最短路径和 - y这棵树的结点数，即curSum[son] - curSum[y] - nodeCnt[y];
             整棵合并树减去 y子树剩余的结点数：n - nodeCnt[y]
            */
            dfs1(y, son, faLeft + curSum[son] - curSum[y] - nodeCnt[y] + n - nodeCnt[y]);
        }
    }

    //深度遍历，获得每一个结点的层次，即为到根结点的最短路径，注意根结点层次为0
    void dfs2(int son, int fa)
    {
        dis[son] = dis[fa] + 1;
        int y;
        for(int i = head[son]; i != -1; i = edge[i].next)
        {
            y = edge[i].y;
            if(y == fa)
            {
                continue;
            }
            dfs2(y, son);
        }
    }

    void solve()
    {
        dfs0(1, 0);
        dfs1(1, 0, 0);
        //求出最大的单点最短路径和，同一时候累加。即为这棵树内部的路径之和的两倍
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            pathCnt += tot[i];
            if(tot[i] > maxTot)
            {
                maxTot = tot[i];
                pos = i;
            }
        }
        dis[0] = -1;
        dfs2(pos, 0);
    }
};

Tree t[3];

LL getAns(const Tree &t1, const Tree &t2, const Tree &t3)
{
    //先算好不变的部分
    LL tmp = (t2.n + t3.n) * t1.maxTot + (t1.n + t2.n) * t3.maxTot + t1.n * t2.n + t2.n * t3.n + 2 * t1.n * t3.n
             + (t1.pathCnt + t2.pathCnt + t3.pathCnt) / 2;
    LL ans, maxAns = 0;

    //固定Y1。t2.maxTot相当于tot2
    tmp += t1.n * t2.maxTot;

    //枚举Y2
    for(int i = 1; i <= t2.n; i++)
    {
        //如果当前t2.tot[i]为tot3，t2.dis[i]为Y2到Y1的距离。Y1作为单原起点
        ans = (LL)tmp + t3.n * t2.tot[i] + t1.n * t3.n * t2.dis[i];
        maxAns = max(ans, maxAns);
    }
    return maxAns;
}

int main()
{
    int n[3], i, j;
    LL ans = 0;
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    scanf("%d%d%d", &n[0], &n[1], &n[2]);
    for(i = 0; i < 3; i++)
    {
        t[i].build(n[i]);
        t[i].solve();
    }

    //枚举三棵树的位置
    for(i = 0; i < 3; i++)
    {
        for(j = 0; j < 3; j++)
        {
            if(i == j)
            {
                continue;
            }
            ans = max(ans, getAns(t[i], t[j], t[3 - i - j]));
        }
    }
    printf("%I64d\n", ans);
    return 0;
}

參考博客：http://www.cnblogs.com/Delostik/p/3553114.html