数论TIPS(Loading...)

　　1.一个数的约数和=(1+p1+p1²+...+p1^c1)*(1+p2+p2²+...+p2^c2)*...*(1+pk+pk²+...+pk^ck)（p为这个数的各个质因数，c表示为各个质因数的次方，k表示质因数个数）

　　2.求一个数的质因数只需要O(sqrt(n))的时间复杂度，先筛出素数，然后将原数除去小素数，如果原数最后不为1，那么这个数肯定也是素数

　　3.相邻的数交换使得最终成为上升序列，交换的次数为逆序对数

　　4.费马小定理：若p为质数，则$a^{p}≡a(mod\;p)$

　　5.欧拉定理：若正整数a,n互质，则$a^{\phi(n)}≡1(mod\;n)$

　　6.一个正整数n，设它其中一个约数为p，那么gcd(i,n)==p的有$\phi(n/p)$个

　　7.欧拉定理推论：若正整数a,n互质，则对于任意正整数b，有$a^{b}≡a^{b\;mod\;\phi(n)}(mod\;n)$

　　8.乘法逆元：若整数b,p互质，并且b|a，则存在一个整数x，使得a/b≡a*x(mod p)，则称x为b的模p乘法逆元，当模数p为质数时，b^p-2即为b的乘法逆元，也就是b^-1≡b^p-2(mod p)

　　9.中国剩余定理(crt)：设m₁,m₂,...,m_n是两两互质的整数，$m=\prod_{i=1}^{n}m_{i}$，M_i=m/m_i，t_i是线性同余方程M_it_i≡1(mod m_i)的一个解,对于任意的n个整数a₁,a₂,...,a_n，方程组：x≡a₁(mod m₁),x≡a₂(mod m₂),...,x≡a_n(mod m_n)，有整数解，且解为$x=\sum_{i=1}^{n}a_{i}M_{i}t_{i}$

　　10.二项式定理：$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}$

　　11.Lucas定理：若p是质数，则对于任意整数1<=m<=n，有：$C_{n}^{m}=C_{n\;mod\;p}^{m\;mod\;p}*C_{n/p}^{m/p}(mod\;p)$

　　12.Catalan数列：给定n个0，n个1，他们按照某种顺序排成长度为2n的序列，满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列的数量为$Cat_{n}=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$

　　　　Catalan数推论：

　　　　(1).n个左括号和n个右括号组成的合法括号序列的数量为Cat_n

　　　　(2).1,2,...,n经过一个栈，形成的合法出栈序列的数量为Cat_n

　　　　(3).n个节点构成的不同二叉树的数量为Cat_n

　　　　(4).在平面直角坐标系上，每一步只能向上或向右走，从(0,0)走到(n,m)并且除两个端点外不接触直线y=x的路线数量为2Cat_n-1

　　13.莫比乌斯函数的性质：

　　　　(1).对于一个数d，如果d=1，$\mu(d)=1$，如果d为互异质数p₁p₂p₃...p_k的乘积，则$\mu(d)=(-1)^{k}$，否则$\mu(d)=0$

　　　　(2).$\sum_{d|x}\mu(d)=[x==1]$

　　　　(3).对于任意正整数n有：$\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$

　　　　(4).$\sum_{d|x}\phi(d)=x$

　　　 莫比乌斯反演：

　　　　(1).如果存在函数F(x)和f(x),满足$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$，则可以得到$f(n)=\sum_{d|n} \mu(d)F(\frac{n}{d})$

　　　　(2).如果存在函数F(x)和f(x),满足$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$，则可以得到$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$

　　14.序列错排求解：对于一个长度为n的序列，n个数互不相同且均为1到n的数，使得一个序列中第i个位置都不等于i的序列数量为$D(n)$。令$D(0)=1,D(1)=0$，得$D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))$

　　15.对于一个n*m的图，只能向右或向下行走，从左上角走到右下角的方案数为$C_{n+m-2}^{n-1}$

　　16.快速求自然数幂和$\sum_{i=1}^{n}i^{k}\mod p$的几种方法

　　　　(1).差分表，$S(n,k)=\sum_{i=1}^{n}i^{k}$

　　　　　　公式：$S(n,k)=\frac{1}{k+1} \left( (n+1)^{k+1}-n-1-\sum_{i=2}^{k}C_{k+1}^{i}S(n,k-i+1) \right )$

　　　　　　复杂度：$O(k^{2})$

　　　　(2).伯努利数，$B_{0}=1$

　　　　　　因为$\sum_{j=0}^iC_{i+1}^jB_j=0$

　　　　　　所以$B_i=-\frac{1}{i+1}\sum_{j=0}^{i-1}C_{i+1}^{j}B_j$

　　　　　　公式：$\sum_{i=1}^{n}i^k={1\over{k+1}}\sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^i*B_{k+1-i}*(n+1)^i$

　　　　　　复杂度：$O(Tk)$T为数据组数

　　17.1到x中，与x互质的数的和为$\frac{\phi(x)*x}{2}$，特殊的，当x=1时，数和为0

　　18.等比数列$\S_{n}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$,$S_n$为前n项的和，$a_1$为首项，$q$为公比