【51nod 1847】奇怪的数学题

题目描述

给出 N,K ,请计算下面这个式子:

\(∑_{i=1}^N∑_{j=1}^Nsgcd(i,j)^k\)

其中,sgcd(i, j)表示(i, j)的所有公约数中第二大的,特殊地,如果gcd(i, j) = 1, 那么sgcd(i, j) = 0。

考虑到答案太大,请输出答案对2^32取模的结果.

1≤N≤109,1≤K≤50

样例解释:

因为gcd(i, j)=1时sgcd(i,j)=0对答案没有贡献,所以我们只考虑gcd(i,j)>1的情况.

当i是2时,j是2时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1

当i是2时,j是4时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1

当i是3时,j是3时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1

当i是4时,j是2时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1

当i是4时,j是4时,sgcd(i,j)=2,它的K次方是8

当i是5时,j是5时,sgcd(i,j)=1,它的K次方是1

解题思路

设minp(x)表示x最小的质因子（当x等于1时，minp(x)为0，当x质数时，minp(x)为1）。

于是

\[∑_{i=1}^n∑_{j=1}^nsgcd(i,j)^k
\]

\[=\sum_{d=2}^{n}\frac{d}{minp(d)}∑^{\lfloor {\frac{n}{d}} \rfloor}_{i=1}∑^{\lfloor {\frac{n}{d}} \rfloor}_{j=1}[sgcd(i,j)==1]
\]

\[=\sum_{d=2}^{n}\dfrac{d}{minp(d)}(2∑^{\lfloor {\frac{n}{d}} \rfloor}_{i=1}φ(i)−1)
\]

对于\(phi(i)\)的前缀和就可以直接杜教筛。

至于如何求出\(\dfrac{d}{minp(d)}\)，

当\(d>\sqrt n 且 d为质数\)时，\(\dfrac{d}{minp(d)}\)为1。

这个就可以通过求\(>\sqrt n\)的质数来得出。

我们设

\(F(i,j)表示在[1,j]中，不能被前i个质数整除的数的K次方和\)

\(H(i,j)表示在[1,j]中，不能被前i个质数整除的数的个数\)

\(G(i,j)表示所有x∈[1,j],minp(x)≤p_i,\frac{d}{minp(d)}^K的和\)

于是，我们可以的出一个递推式

\(F(i,j)=F(i-1,j)-p_i^kF(i-1,\lfloor\dfrac{j}{p_i}\rfloor)\)

\(H(i,j)=H(i-1,j)-H(i-1,\lfloor\dfrac{j}{p_i}\rfloor)\)

\(G(i,j)=G(i-1,j)+F(i-1,\lfloor\dfrac{j}{p_i}\rfloor)\)

答案就是\(H(\sqrt n以内质数个数,n)+G(\sqrt n以内质数个数,n)\)

然后我们发现，当\(p_i>j\)时，F(i,j)=1,H(i,j)=1;

当\(p_i^2>j\)时

\(F(i,j)=F(i-1,j)-p_i^k\)

\(H(i,j)=H(i-1,j)-1\)

\(G(i,j)=G(i-1,j)+1\)

因为j只有\(\sqrt n\)种取值，我们直接预处理出每种取值，然后直接递推。

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
const long long inf=2147483647;
const int mo=1e9+7;
const int N=1000005;
const int M=55;
using namespace std;
typedef unsigned int uint;
#define sqr(x) ((x)*(x))
long long _n[N],num,p[N],qn,n,m,SP[N],v1[N],phi[N],nphi[N],nn;
uint F[N],G[N],H[N],lu[N],mi[N],smi[N],s[M][M],S[M],ans,Smi[N];
bool bz[N];
uint poww(uint x,uint y)
{
	uint s=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x)
		if(y&1) s=s*x;
	return s;
}
void pre_P()
{
	mi[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=qn;i++)
	{
		if(!bz[i])
		{
			p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1,mi[i]=poww(i,m),smi[p[0]]=smi[p[0]-1]+mi[i];
		}
		for(int j=1;j<=p[0];j++)
		{
			int k=i*p[j];
			if(k>qn) break;
			bz[k]=true;
			mi[k]=mi[i]*mi[p[j]];
			if(i%p[j]==0)
			{
				phi[k]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			else phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=qn;i++) Smi[i]=Smi[i-1]+mi[i],phi[i]+=phi[i-1];
}
void pre_STR()
{
	for(int i=0;i<=m;i++) s[i][i]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<i;j++) s[i][j]=s[i-1][j-1]+s[i-1][j]*(i-1);
}
uint get_P(uint n,uint k)
{
	uint val=1;
	for(uint i=n;i>=n-k+1;i--)
		if(i%k==0) val*=i/k;
		else val*=i;
	return val;
}
void pre()
{
	for(uint i=1,last=1;i<=n;i=last+1) last=n/(n/i),_n[++num]=n/i;
	reverse(_n+1,_n+1+num);

	pre_P(),pre_STR();
	for(int i=1;i<=num;i++)
	{
		H[i]=_n[i];
		if(_n[i]<=qn)
		{
			F[i]=Smi[_n[i]];
			continue;
		}
		S[0]=_n[i];
		for(int k=1;k<=m;k++)
		{
			S[k]=get_P(_n[i]+1,k+1);
			for(int j=0;j<k;j++) S[k]-=((k-j)&1?-1:1)*s[k][j]*S[j];
		}
		F[i]=S[m];
	}
}
uint get_F(long long i,long long j)
{
	long long k;
	k=j<=qn?j:(num-n/j+1);
	return (!i || sqr(p[i])<=j)?F[k]:(p[i]<=j?(F[k]-smi[i]+smi[lu[k]]):1);
}
uint get_H(long long i,long long j)
{
	long long k;
	k=j<=qn?j:(num-n/j+1);
	return (!i || sqr(p[i])<=j)?H[k]:(p[i]<=j?(H[k]-i+lu[k])%mo:1);
}
uint Sphi(int n)
{
	if(n<=qn) return phi[n];
	if(nphi[nn/n]) return nphi[nn/n];
	uint ans=(n&1)?((n+1)>>1)*n:(n>>1)*(n+1);
	for(int i=2,last=1;i<=n;i=last+1)
	{
		last=n/(n/i);
		ans-=Sphi(n/i)*(last-i+1);
	}
	return nphi[nn/n]=ans;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m),qn=sqrt(n);
	pre();
	for(int i=1;i<=p[0];i++)
	{
		for(int j=num;j>=1;j--)
		{
			F[j]-=mi[p[i]]*get_F(i-1,_n[j]/p[i]);
			G[j]+=get_F(i-1,_n[j]/p[i]);
			H[j]-=get_H(i-1,_n[j]/p[i]);
			lu[j]=i;
			if(i==p[0] || sqr(p[i+1])>_n[i])
				v1[j]=G[j]+H[j]-1;
			if(sqr(p[i])>_n[j-1])
			{
				v1[j]=G[j]+H[j]-1;
				break;
			}
		}
	}
	v1[2]=1;
	if(_n[3]==3) v1[3]=2;
	ans=0;
	nn=n;
	for(int i=2;i<=num;i++)
		ans=ans+(v1[i]-v1[i-1])*(2*Sphi(n/_n[i])-1);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}