【素数判定/筛法进阶算法】-C++

今天我们来谈一谈素数的判定/筛法。

对于每一个OIer来说，在漫长的练习过程中，素数不可能不在我们的眼中出现，那么判定/筛素数也是每一个OIer应该掌握的操作，那么我们今天来分享几种从暴力到高效的判定法/筛法。

弱智的譬如从1枚举到n或者是枚举的\(\sqrt{n}\)的算法就不讲了。

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1.欧拉筛

欧拉筛是最基本的一种线性筛法，预处理完成之后可以O(1)查询，适合于查询次数多，范围不大的情况。

基本思想：每个合数只让其最大因数（或最小质因数）标记。

为了保证这一点，我们开一个prime数组，把检查到的质数按顺序放入。其作用是对于枚举到的数\(i\) ，可依次乘上

prime数组中元素来标记合数；在标记过程中，如果\(prime[j]|i\) ，则停止这轮标记。

预处理部分：

for(int i=2;i<=n;i++)
{
    if(!book[i])prime[++ind]=i;
    for(int j=1;j<=ind;j++)
	{
           if(i*prime[j]>n) break;
           book[i*prime[j]]=1;
           if(!i%prime[j])break;
    }
}

预处理完成之后，\(prime[i](i \leq ind)\)表示一个n以内的质数。

注意：最好不要用这里的\(book[i]\)直接判断输出，会惊起WA声一片da！

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2.另一种方法

因为不知道叫什么名字所以先这样吧...

这个判定方法有点玄学...给大家推一下。

证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：

······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······

明显可以看到，不在6的倍数两侧，即6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里要注意的一点是，在6的倍数相邻两侧并不一定就是质数。

此时判断质数可以以6为单位快进，即将方法（2）循环中i++步长加大为6，加快判断速度，原因是，假如要判定的数为n，则n必定是6x-1或6x+1的形式，对于循环中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，则n至少得是一个偶数，但是6x-1或6x+1的形式明显是一个奇数，故不成立；另外，如果n能被6i+3整除，则n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。综上，循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况，即循环的步长可以定为6，每次判断循环变量k和k+2的情况即可。

代码实现也很简单，不过需要注意的是有两种情况需要特判：

1.这个数是1，需要返回false;

2.这个数是2或3，需要返回true;

其他的按照上面的思路打出来就对了，代码如下：

bool isPrime_3(int num)
{
    if(num==1)
        return 0;
    if(num==2||num==3)
        return 1;
    if(num%6!=1&&num%6!=5)
        return 0;
    int tmp=sqrt(num);
    for(int i=5;i<=tmp;i+=6)
        if(num%i==0||num%(i+2)==0)
            return 0;
    return 1;
}

这种判断的方法的速度应该算是很快了，判断\(40W\)个数是否是素数只需要\(0.099s\)。

3.Miller-Rabin判断法

这个方法骑士我没有过多地进行了解，但是据说它很玄学！

代码也比较复杂

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll qpow(ll x,ll y,ll p)//x^y mod p
{
    ll ans=1,m=x;
    while(y)
    {
        if(y&1)ans*=m;
        ans%=p;
        m*=m;
        m%=p;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
bool check(ll x,ll y,ll p)
{
	ll q=qpow(x,y,p);
	if(q!=1&&q!=p-1)return 0;
	if(q==p-1)return 1;
	if(q==1&&(y&1))return 1;
	return check(x,y>>1,p);
}
bool mil(ll x)
{
	if(x<=1)return 0;
	if(x==2||x==7||x==61||(check(2,x-1,x)&&check(7,x-1,x)&&check(61,x-1,x)))/*底数RP++*/return true;
    return 0;
}
int main()
{
	int n,m;
	ll k;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>k;
		if(mil(k))cout<<"Yes"<<endl;
		else cout<<"No"<<endl;
	}
	return 0;
}

很明显，mil函数中第二个if里面的数字是可以修改的，也决定了你的正确率（最好选择素数）

如果选择\(2,3\)作为这个底，可以通过130w以内的数据，如果用\(2,7,61\)作为底，可以通过4.7亿以内的数据（真的玄学）

当然，如果选其他的质数作为底，错误率也很低，只有\(4^{-k}\)

其他的就不多讲了吧...以后深入了解了之后可能会更新。

ov.