RE:ゼロから始める AFO 生活
新建这篇博客的时候发现自己在NOI之后只发过两三篇博客,而且都基本上没什么实质性内容。
果然是巨大混混人啊。
本文承接上篇(不过好像烂尾了),旨在记录一些有趣(?)的内容。
12.23
北大集训过去好些天了。
对退役这件事情几乎无感,IOI也并非自己所坚信的道路。
但这也只是逃避的说辞罢了。
不过有一说一,退役二字本身还是很让人沮丧的。至少不能够把这种挫败感带到机房传染给学弟们。
以后还是会做点题什么的,毕竟在近一两年里总还是会被打上,或者说需要依赖于这引以为傲的OIer标签的。
当然也会有些别的计划,在此就不多提及了。
下午补了USACO的题。T3那个数数题在北大集训前鼠就跟我讲过但好像当时......根本没有脑子?
「USACO 2019.12 Platinum」Greedy Pie Eaters
首先可以认为每个区间都对应一头牛(若不存在可以认为牛的体重为\(0\)),记\(A_{l,r}\)表示区间\([l,r]\)对应的牛的体重,显然最终会选出恰好\(n\)头牛,每头牛吃恰好一个派。
考虑区间dp。枚举区间\([l,r]\),并枚举区间内最后一个被吃掉的派\(k\)。
\(f_{l,r}=\max_{l \le k \le r}\{f_{l,k-1}+f_{k+1,r}+g_{l,k,r}\}\),其中\(g_{l,k,r}=\max_{l \le x \le k \le y \le r}A_{x,y}\)。
\(g\)可以和\(f\)一起算,即\(g_{l,k,r}=\max\{g_{l+1,k,r},g_{l,k,r-1},A_{l,r}\}\),可以把其中一维用滚动数组优化掉。
code
「USACO 2019.12 Platinum」Bessie's Snow Cow
直接用\(\text{std::set}\)维护每种颜色的子树并,再安排个树状数组支持区间加区间求和就完事了!!1
code
「USACO 2019.12 Platinum」Tree Depth
一件(众所周知的)事情是设\(f_{n,k}\)表示逆序对数为\(k\)的\(n\)阶排列的数量,那么其生成函数\(F_n(x)=\sum_{k\ge 0}f_{n,k}x^k\)满足
\[F_n(x)=\prod_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i}x^j=\prod_{i=1}^{n}\frac{1-x^i}{1-x}\]
大致含义是考虑排列的生成方式,每次在一个\(i\)阶排列的末尾添加一个新的数字,根据新添加的数字与原数的大小关系可以得到逆序对数的增量。
另一件(众所周知的)事情是在考虑排列中某个位置在对应的笛卡尔树上的期望深度时,常常根据期望的线性性,转化成考虑其余每个位置在笛卡尔树上作为这个位置的祖先的概率。具体的,一个\(n\)阶排列中,\(i\)作为\(j\)在笛卡尔树上的祖先的充要条件为:\(p_i\)是区间\([i,j]\)(或区间\([j,i]\))中的最小值,而这个概率显然是\(\frac{1}{|i-j|+1}\)。
回到原问题。考虑枚举\(i,j\),计算有多少逆序对数为\(k\)的排列满足\(i\)是\(j\)在笛卡尔树上的祖先。相当于是在插入\(i\)位置时强制其为当前最小,也即对于上述的生成函数\(F_n(x)\),把\(\prod\)中\(\sum_{k=0}^{|i-j|}x^k\)项改为\(1\)或者\(x^{|i-j|}\)(根据\(i,j\)的大小关系,会发现当\(i<j\)时插入\(i\)不会贡献逆序对,\(i>j\)会贡献恰好\(i-j\)个逆序对)。
只需要计算出\(F_n(x)\),然后每次除掉一个\(\frac{1-x^i}{1-x}\)即可。
晚上口胡了下PKUWC。jlsnb!
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