RE：ゼロから始める AFO 生活

新建这篇博客的时候发现自己在NOI之后只发过两三篇博客，而且都基本上没什么实质性内容。
果然是巨大混混人啊。
本文承接上篇（不过好像烂尾了），旨在记录一些有趣（？）的内容。

12.23

北大集训过去好些天了。
对退役这件事情几乎无感，IOI也并非自己所坚信的道路。
但这也只是逃避的说辞罢了。
不过有一说一，退役二字本身还是很让人沮丧的。至少不能够把这种挫败感带到机房传染给学弟们。

以后还是会做点题什么的，毕竟在近一两年里总还是会被打上，或者说需要依赖于这引以为傲的OIer标签的。
当然也会有些别的计划，在此就不多提及了。

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下午补了USACO的题。T3那个数数题在北大集训前鼠就跟我讲过但好像当时......根本没有脑子？

「USACO 2019.12 Platinum」Greedy Pie Eaters

首先可以认为每个区间都对应一头牛（若不存在可以认为牛的体重为\(0\)），记\(A_{l,r}\)表示区间\([l,r]\)对应的牛的体重，显然最终会选出恰好\(n\)头牛，每头牛吃恰好一个派。
考虑区间dp。枚举区间\([l,r]\)，并枚举区间内最后一个被吃掉的派\(k\)。
\(f_{l,r}=\max_{l \le k \le r}\{f_{l,k-1}+f_{k+1,r}+g_{l,k,r}\}\)，其中\(g_{l,k,r}=\max_{l \le x \le k \le y \le r}A_{x,y}\)。
\(g\)可以和\(f\)一起算，即\(g_{l,k,r}=\max\{g_{l+1,k,r},g_{l,k,r-1},A_{l,r}\}\)，可以把其中一维用滚动数组优化掉。
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「USACO 2019.12 Platinum」Bessie's Snow Cow

直接用\(\text{std::set}\)维护每种颜色的子树并，再安排个树状数组支持区间加区间求和就完事了！！1
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「USACO 2019.12 Platinum」Tree Depth

一件（众所周知的）事情是设\(f_{n,k}\)表示逆序对数为\(k\)的\(n\)阶排列的数量，那么其生成函数\(F_n(x)=\sum_{k\ge 0}f_{n,k}x^k\)满足

\[F_n(x)=\prod_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i}x^j=\prod_{i=1}^{n}\frac{1-x^i}{1-x}\]

大致含义是考虑排列的生成方式，每次在一个\(i\)阶排列的末尾添加一个新的数字，根据新添加的数字与原数的大小关系可以得到逆序对数的增量。

另一件（众所周知的）事情是在考虑排列中某个位置在对应的笛卡尔树上的期望深度时，常常根据期望的线性性，转化成考虑其余每个位置在笛卡尔树上作为这个位置的祖先的概率。具体的，一个\(n\)阶排列中，\(i\)作为\(j\)在笛卡尔树上的祖先的充要条件为：\(p_i\)是区间\([i,j]\)（或区间\([j,i]\)）中的最小值，而这个概率显然是\(\frac{1}{|i-j|+1}\)。

回到原问题。考虑枚举\(i,j\)，计算有多少逆序对数为\(k\)的排列满足\(i\)是\(j\)在笛卡尔树上的祖先。相当于是在插入\(i\)位置时强制其为当前最小，也即对于上述的生成函数\(F_n(x)\)，把\(\prod\)中\(\sum_{k=0}^{|i-j|}x^k\)项改为\(1\)或者\(x^{|i-j|}\)（根据\(i,j\)的大小关系，会发现当\(i<j\)时插入\(i\)不会贡献逆序对，\(i>j\)会贡献恰好\(i-j\)个逆序对）。

只需要计算出\(F_n(x)\)，然后每次除掉一个\(\frac{1-x^i}{1-x}\)即可。

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晚上口胡了下PKUWC。jlsnb！