luogu2657-Windy数题解--数位DP

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2657

分析

第一道数位DP题,发现有点意思

DP求\([L,R]\)区间内的XXX个数,很套路地想到前缀和,先求\([1,R],[1,L]\)相减就好了

状态转移也明确,发现状态只和上一位数位的数有关,\(f[i][j]\)表示第\(i\)位放\(j\)的话有多少个windy数,注意的这里的windy数是在钦定一个数字最高位是多少情况下所有的windy数的数量和(即[1,i-1]位放数情况都被算了一遍)

\(f[i][j] = f[i-1][ j-2/j+2]\)

然后考虑怎么求答案.

假如我们要求\(1\)到\(R\)中的windy数有多少,设R有x位,第i位数字为num[i]

首先对于位数小于\(x\)的以及第\(x\)位数字小于\(num[x]\)都可以算进去

然后考虑卡到R边界的情况,我们可以枚举前k位卡到了上限即前\(k\)位与R的前\(k\)位相同,那么在第\(k+1\)位进行答案统计

首先我们是不能达到上界的(这样的话可能算多次),在枚举\(k+1\)位的数字为\(d\)时根据定义只有当\(abs(d-a[k])>=2\)时才能累计答案

但是还有一个问题就是你本身枚举与R相等的前k位数可能就违反了windy数的定义,那么我们需要特判一下退出,但是还需要注意由于这个原因我们需要倒序枚举,因为正序枚举的话如果你前面有一对数是非法的,无论后面数位为何值整个数就是非法的

还有一些奇奇怪怪的问题比如前导\(0\).不过这个也挺好想的.

最后发现如果\(R\)也是个windy数的话没判到(我们的卡上界实际上是没有卡到的,我们总是在当前枚举的这一位比R小),所以特判一下就好了

代码

/*
  code by RyeCatcher
*/
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <utility>
#include <queue>
#include <vector>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <iostream>
#define DEBUG freopen("dat.in","r",stdin);freopen("wa.out","w",stdout);
#define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
#define ri register int
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define SIZE 1<<22
using std::min;
using std::max;
using std::priority_queue;
using std::queue;
using std::vector;
using std::pair;
using namespace __gnu_pbds;
inline char gc(){
    static char buf[SIZE],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,SIZE,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
#define gc getchar
template <class T>inline void read(T &x){
    x=0;int ne=0;char c;
    while((c=gc())>'9'||c<'0')ne=c=='-';x=c-48;
    while((c=gc())>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=12;
const int inf=0x7fffffff;
int a,b;
int toa=0,numa[maxn],tob=0,numb[maxn],f[maxn][maxn];
int main(){
	int x,y;
	read(a),read(b);
	for(ri i=0;i<=9;i++)f[1][i]=1;
	x=a;
	while(x){
		numa[++toa]=x%10;
		x=x/10;
	}
	x=b;
	while(x){
		numb[++tob]=x%10;
		x=x/10;
	}
	bool flag=1;
	for(ri i=2;i<=tob;i++)if(abs(numb[i]-numb[i-1])<2){flag=0;break;}
	for(ri i=2;i<=tob;i++){
		for(ri j=0;j<=9;j++){
			for(ri k=0;k<=9;k++){
				if(abs(k-j)>=2)f[i][j]+=f[i-1][k];
			}
		}
	}
	ll ans=0;
	ans+=flag;
	for(ri i=1;i<numb[tob];i++)ans+=f[tob][i];
	for(ri i=1;i<tob;i++){
		for(ri j=1;j<=9;j++)ans+=f[i][j];
	}
	for(ri i=tob-1;i>=1;i--){
		for(ri j=0;j<numb[i];j++){
			if(abs(j-numb[i+1])>=2)ans+=f[i][j];
		}
		if(abs(numb[i]-numb[i+1])<2)break;
	}
	for(ri i=1;i<numa[toa];i++)ans-=f[toa][i];
	for(ri i=1;i<toa;i++){
		for(ri j=1;j<=9;j++)ans-=f[i][j];
	}
	for(ri i=toa-1;i>=1;i--){
		for(ri j=0;j<numa[i];j++){
			if(abs(j-numa[i+1])>=2)ans-=f[i][j];
		}
		if(abs(numa[i]-numa[i+1])<2)break;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}