AKS素性检测

2002年印度数学家Manindra Agrawal, Neeraj Kayal，Nitin Saxena 给出了一个是否为素数的判别准则。

定理一：设 $a$ 是于 $p$ 互素的整数，则 $p$ 是素数的充分必要条件是

$$(x-a)^p \equiv (x^p-a)(mod \ p)$$

证：

$\because  (x-a)^p = x^p + \sum_{i=1}^{p-1}C_n^ix^i(-a)^{p-i} + (-a)^p$

如果 $p$ 是素数，则 $p | C_p^i, 0 < i < p$，因此，结论成立

反过来，如果 $p$ 是合数，考虑 $p$ 的素因数 $q$，设 $q^k || p$，易证 $q^k \nmid C_p^q$ 且 $(q^k, a)=1$，因此，$x^q$ 的系数模 $p$ 不为零，这样 $(x-a)^p - (x^p-a)$ 在 $\mathbf{F}_p$ 上不恒为零。证毕