Product Integration
一般的积分是指黎曼积分, 其计算是把区域无限细分求和并取极限, 有另外一种积分是把区域无限细分求积并取极限, 这个在生存模型中有很多应用.
生存模型
设生存的时间为随机变量\(T\), 则生存函数定义为
\]
显然\(S(0)=1\). 生存函数表示, 一个个体生存时间超过\(t\)的概率.
连续情形
设随机变量\(T\)所对应的密度函数为\(f(t)\), 并定义hazard rate为
\]
注意到
\]
故
\]
又
\]
所以
\]
故
\]
离散情形
此时假设\(f(t)=\mathrm{Pr}(T=t)\),
\]
可以证明
\]
注意, 这里的\(\prod\)个人感觉都没法用极限去理解, 只能用无限(即便是不可数)个1相乘仍为1理解.
不妨设\(f(t)\)仅在\(0<t_1 < t_2 < \cdots\)处非零, 则
S(t)=1-f(t_1)=1-\alpha(t_1), \: t_1 < t \le t_2, \\
\]
\cdots
\]
统一
记连续情况下
\]
离散情况下
\]
这里的\(\sum\)请用勒贝格积分理解, 二者在实变函数下统一为
\]
\(A(t+h)-A(t)\)可以理解为个体在\([t,t+h]\)内死亡的概率, 则
\]
意思就是, 个体想活过\(t\), 必须前面的每一个阶段都是活着的(严格的推导, 以及极限存在等等不知).
还有在矩阵和马尔可夫上的推广, 一知半解, 就不记录了.
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