[数分笔记]Dedekind切割定理的证明

1、定理内容

Dedekind切割定理：设是实数集的一个切割，则或者有最大数，或者有最小数。

2、证明过程

设是中所有有理数所构成的集合，是中所有有理数所构成的集合

从而构成一个有理数集的切割

有三种情况：

（1）中有最大数，中无最小数

（2）中无最大数，中有最小数

（3）中无最大数，中无最小数

对于情况（1）：

下证也是的最大数，而没有最小数

反证，假设不是的最大数，设是的最大数

由有理数的稠密性知，在中必存在有理数

由知，而，与是的最大数矛盾

从而是的最大数    //不是的最大数的反面为什么不考虑无最大数

对于情况（2）：

类似可知没有最大数，的最小数为

对于情况（3）：

切割确定无理数，，有

由于，从而要么，要么

若，下证是的最大数

反证，若不是的最大数，设的最大数是

在中存在有理数，由于，故

又因为，从而，矛盾

故是的最大数

类似的，若，则是的最小数

综上所述，若是实数集的一个切割，则或者有最大数，或者有最小数。  #