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给定正整数 \(k\),找到所有的正整数 \(x \geqslant y\),使得 \(\frac{1}{k}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)。

数据范围:\(0<k\leqslant 10^4\)。

Solution

我们考虑直接暴力枚举,那么如何枚举?又如何确定枚举的上界与下界?

由于题目中给出的要求 \(x\geqslant y\),因此我们可以考虑枚举 \(y\),然后显然要使得 \(y>k\),因此我们枚举的下界就是 \(k+1\),那么枚举的上界是什么呢?显然是在 \(x=y\) 的时候就不能够再去枚举了,因为如果 \(y\) 再向后枚举的话就不能够保证 \(x\geqslant y\)。而又由于在这个时候 \(\frac{1}{k}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\),因此 \(y\) 此时就是 \(2k\)。因此我们枚举的范围就是 \([k+1,2k]\)。我们发现这么枚举是 \(\mathcal O(k)\) 的,再看数据范围,显然 \(10^4\) 的复杂度不会爆炸,因此就可以通过这么愉快的枚举通过此题了。

Code

int n;

ii gcd(int a, int b) {return !b ? a : gcd(b, a % b);}

int main() {
while(scanf("%d", &n) == 1) {
vector<pii> ans;
F(int, i, n + 1, n * 2) {
int fm = i * n, fz = n - i;
int gg = gcd(fm, fz);
fm /= gg, fz /= gg;
if(fz == 1) ans.push_back(make_pair(-fm, i)); //第一项一定要先去相反数再放入 pair!!!因为这是 pair 的特性
}
println((int)ans.size());
F(int, i, 0, (int)ans.size() - 1) printf("1/%d = 1/%d + 1/%d\n", n, ans[i].fi, ans[i].se);
}
}

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