Note - Powerful Number

Powerful Number

  对于 \(n\in\mathbb N_+\)，若不存在素数 \(p\) 使得 \(p\mid n~\land~p^2\not\mid n\)，则称 \(n\) 为 Powerful Number。即，\(n\) 的每个素因子至少以二次的形式存在。不难发现，任何一个 Powerful Number \(n\) 都可以写成 \(a^2b^3~(a,b\in\mathbb N_+)\) 的形式（但不唯一）。接下来，我们研究其在正整数前缀序列中出现次数的规模，有

\[\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n[i\text{ is a P.N.}]&\le\sum_{i=1}^n\left(\frac{n}{i^2}\right)^{\frac{1}{3}}\\
&=n^{\frac{1}{3}}\sum_{i=1}^ni^{-\frac{2}{3}}\\
&\le n^{\frac{1}{3}}\int_1^nx^{-\frac{2}{3}}\text dx\\
&=n^{\frac{1}{3}}\left.\left(3x^{\frac{1}{3}}\right)\right|_1^{n^{\frac{1}{2}}}\\
&=\mathcal O(n^\frac{1}{2})
\end{aligned}
\]

所以 \(n\) 以内的 Powerful Number 的数量是 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 级别，因此引出了基于 Powerful Number 数量的神奇筛法。

Powerful Number 筛法

  给出任意的积性函数 \(f\)，求

\[\sum_{i=1}^nf(i)
\]

  若按照正常杜教筛的方法，我们很可能无法找到一个 \(g\) 使得 \(f\star g\) 的前缀和易于计算。我们转而引入一个在素数处“拟合” \(f\) 的积性函数 \(g\)，即有

\[\forall p\in\mathbb P,~g(p)=f(p)
\]

同时保证 \(g\) 的前缀和易于计算。接着构造出类似杜教筛的卷积形式，令

\[h=f\star g^{-1}
\]

那么

\[\sum_{i=1}^nf(i)=\sum_{i=1}^nh(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor} g(j)
\]

  有何特别之处呢？考虑任意素数 \(p\)：

\[f(p)=g(p)+h(p)=g(p)~~~~\Rightarrow~~~~h(p)=0
\]

而 \(g\)，\(f=g\star h\) 均为积性函数，所以 \(h\) 为积性函数，况且 \(h(p)\) 恒为 \(0\)，所以使得 \(h(a)\not=0\) 的 \(a\) 为 Powerful Number！我们只需要预处理出 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 个 \(g\) 的前缀和，再大力搜索不为 \(0\) 的 \(h(a)\)，就能算出上式的结果啦！

例题

「LOJ #6053」简单的函数

  Link.

  积性函数 \(f\) 满足 \(f(p^c)=p\oplus c~(p\in\mathbb P,c\in\mathbb N_+)\)，求 \(\sum_{i=1}^n f(i)\bmod(10^9+7)\)。

  \(n\le10^{10}\)。

---

  首先，考虑 \(f\) 的素数点值：

\[f(p)=\begin{cases}
3,&p=2\\
p-1,&\text{otherwise}
\end{cases}
\]

由 \(p-1\) 联想到 \(\varphi(p)=p-1\)，可惜 \(\varphi(2)=1\)。干脆一点，我们直接强行把 \(\varphi\) 的偶数点值乘上 \(3\)，令

\[g(n)=\begin{cases}
\varphi(n),&2\not\mid n\\
3\varphi(n),&\text{otherwise}
\end{cases}
\]

显然它也是积性函数。

  接着，求 \(g\) 的前缀和。其前缀和为 \(\varphi\) 的前缀和加上两倍偶数点的 \(\varphi\) 前缀和。记

\[\begin{aligned}
S(n)&=\sum_{i=1}^n\varphi(2i)\\
&=\sum_{i=1}^n[2\not\mid i]\varphi(i)+2\sum_{i=1}^n[2\mid i]\varphi(i)\\
&=S\left(\frac{n}{2}\right)+\sum_{i=1}^n\varphi(i)
\end{aligned}
\]

杜教筛处理 \(\varphi\) 的前缀，\(S\) 就能在可观（我不会算 qwq）的复杂度内预处理出来，继而也得到了 \(g\) 的 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 个前缀和。

  此外，我们还需要求 \(h(i)\)，即求 \(h(p^c)~(c>1)\)。考虑 \(f(p^c)\) 与它的关系：

\[f(p^c)=\sum_{i=0}^ch(p^i)g(p^{c-i})\\
\Rightarrow~~~~h(p^c)=f(p^c)-\sum_{i=0}^{c-1}h(p^i)g(p^{c-i})
\]

顺手把 \(\mathcal O(\sqrt n\ln\ln\sqrt n)\)（\(n\) 以内素数的倒数和的规模是 \(\mathcal O(\ln\ln n)\)）个 \(h(p^c)\) 也预处理出来，最后 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 搜索 Powerful Number 就能求出答案啦！

  代码可见我的博客。

「洛谷 P5325」Min_25 筛

  Link.

  对于积性函数 \(f(x)\)，有 \(f(p^k)=p^k(p^k-1)~(p\in\mathbb P,k\in\mathbb N_+)\)。求 \(\sum_{i=1}^nf(i)\bmod(10^9+7)\)。

  \(n\le10^{10}\)。

---

  Min_25 筛是不可能的。

  Powerful Number 三步走咯！考虑素数点值：

\[f(p)=p^2-p
\]

那么令 \(g=\operatorname{id}\cdot\varphi\)（点乘号即数值相乘），就有 \(g(p)=p^2-p\)。积性函数的点乘亦为积性函数。

  求 \(g\) 的前缀和，杜教筛基础操作，卷上一个 \(\operatorname{id}\)：

\[\begin{aligned}
\lbrack(\operatorname{id}\cdot\varphi)\star\operatorname{id}\rbrack(n)&=\sum_{i\mid n}(\operatorname{id}\cdot\varphi)(i)\cdot\frac{n}{i}\\
&=\sum_{i\mid n}n\varphi(i)\\
&=n^2
\end{aligned}
\]

自然数平方和易求，丢到杜教筛的式子里，推导后得出

\[S(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{i=2}^niS\left(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\right)
\]

其中 \(S(n)\) 即为 \(\sum_{i=1}^ng(i)\)。

  求 \(h(p^k)\)，可以用 Bell 级数推导。令 \(F_p,G_p,H_p\) 分别为 \(f,g,h\) 在某一素数 \(p\) 的 Bell 级数，则

\[\begin{cases}
F_p=\operatorname{OGF}\langle1,p(p-1),p^2(p^2-1),\cdots\rangle=\frac{1}{1-p^2z}-\frac{1}{1-pz}+1\\
G_p=\operatorname{OGF}\langle1,p(p-1),p^3(p-1),\cdots\rangle=\frac{1-pz}{1-p^2z}
\end{cases}
\]

应用“两函数 Bell 级数的乘法卷积”为“原函数 Dirichlet 卷积之 Bell 级数”的性质，得到

\[\begin{aligned}
H_p&=\frac{F_p}{G_p}\\
&=\frac{\frac{1}{1-p^2z}-\frac{1}{1-pz}+1}{\frac{1-pz}{1-p^2z}}\\
&=\frac{1-\frac{1-p^2z}{1-pz}+1-p^2z}{1-pz}\\
&=\frac{1}{1-pz}-\frac{1-p^2z}{(1-pz)^2}+\frac{1-p^2z}{1-pz}\\
\end{aligned}
\]

我们仅仅想求 \(h(p^k)\)，即 \([z^k]H_p\)，那么

\[\begin{aligned}
\lbrack z^k\rbrack H_p&=[z^k]\frac{1}{1-pz}-[z^k]\frac{1-p^2z}{(1-pz)^2}-[z^k]\frac{1-p^2z}{1-pz}\\
&=p^k-[(k+1)p^k-kp^{k+1}]+(p^k-p^{k+1})\\
&=(k-1)(p^{k+1}-p^k)
\end{aligned}
\]

  最终，\(\mathcal O(n^{\frac{2}{3}})\) 就能求出答案啦。

  代码可见我的博客。

总结

• Powerful Number 指每个素因子至少是二次的正整数；
• \([1,n]\) 内的 Powerful Number 个数为 \(\mathcal O(\sqrt n)\)；
• Powerful Number 筛法的步骤为：
  1. 对于 \(f\)，找到素数点值与其相同的，方便求前缀和的函数 \(g\)；
  2. 预处理/在线求 \(g\) 的 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 个前缀和；
  3. 预处理/在线求 \((f\star g^{-1})(p^k)\)，可以暴力计算或尝试 Bell 级数；
  4. 爆搜 Powerful Number 统计答案。
• 此筛法是否优秀大部分取决于第三步，即能否快速计算 \((f\star g^{-1})(p^k)\)。