2.5 Local Methods in High Dimensions

curse of dimensionality

• 输入在p维立方体中符合均匀分布，如果需要覆盖比例r的体积，需要每个维度上\(e_p(r)=r^{1/p}\)
  
  \(e_{10}(0.01)=0.63,e_{10}(0.1)=0.8\)
• 输入在p维立方体中负荷均匀分布，p=1时，1000个点达到的采样密度
  
  在p=10时，需要\(1000^{10}\)个点才能达到
  
  需要的数据量随维度增加幂增长
• 输入在p维单位球体中符合均匀分布，使用1-nearest neighbor预测0点的値
  
  假设有N个训练数据，则这些点到0点距离的中値为
  
  \(d(p,N)={(1-{(1/2)}^{1/N})}^{1/p}\)
  
  $ d(10, 500) ≈ 0.52$
  
  当维度高，数据量小时，最近邻离预测点往往比较远，所以得到的预测偏差大

证明:

p维，半径为r的球体体积为\(V_p(r)=\frac{\pi^{p/2}}{\Gamma(1+p/2)}r^p\)

N个点都在半径为d的球体外的概率为对应部分体积之比\(p(D>d)={(1-d^p)}^N\)

取\(p(D>d)=1/2\)，\(d(p,N)={(1-{(1/2)}^{1/N})}^{1/p}\)

• 1000个训练数据均匀分布在\({[-1,1]}^p\)中，真实\(Y\)和\(X\)的关系，符合以下函数：
  
  \(Y=f(X)=e^{-8{||x||}^2}\)，使用1-nearest neighbor预测在0点的値
  
  进行bias–variance decomposition
  
  平均平方误差可以分成在训练集\(\tau\)上的方差，以及模型本身的偏差平方

p = 10时，99%的训练集最近邻离0点的距离都大于0.5

证明:

\(p(D>0.5)={\left(1-\frac{\frac{\pi^{10/2}}{\Gamma(1+10/2)}{0.5}^{10}}{2^{10}}\right)}^{1000}≈0.99757\)

import python
math.pow(1-math.pow(math.pi,5)/120/math.pow(4,10),1000)

figure2.7 **_bais占主要，因为最近邻离的远，函数中有距离项_**

而每次训练集采样，得到的最近邻离0点距离差别不大

figure2.8 将函数换成$f(X)={(X_1+1)}^3/2$，Y値只与第一个维度相关

'''
2.5<Local Methods in High Dimensions>
page 25(figure2.7),26(figure2.8)
function2.7 is f(x)=e^{-8||x||^2}
function2.8 is f(x)=(x_1+1)^3/2
x is uniformally distributed in [-1,1]^p ,p is the dimension
MSE,VARIANCE,BAIS is about f(0)
so for function2.7 f0=1
       function2.8 f0=0.5
'''
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def func2_7(X):
    return np.array([np.exp(-8*np.dot(i,i)) for i in X])
def func2_8(X):
    return np.array([np.power(i[0]+1,3)/2.0 for i in X])
def mse_var_bais(N,T,p,func1,f0):
    X = np.zeros((T,p))
    for i in range(T):
        dt = np.random.uniform(-1,1,N*p).reshape((N,p))
        st = [np.dot(j,j) for j in dt]
        ind = (st==np.min(st))
        #get the nearest neighbor
        X[i,:] = dt[ind,:]
    arr = func1(X)
    mse = np.mean(np.power((arr - f0),2))
    var = np.mean(np.power(arr - np.mean(arr),2))
    bais = np.power(np.mean(arr)-f0,2)
    return mse,var,bais
def getMSE_VAR_BAIS(N,T,f0,func1):
    VAR = []
    BAIS = []
    MSE = []
    for i in range(10):
        mse,var,bais=mse_var_bais(N,T,i+1,func1,f0)
        MSE.append(mse)
        VAR.append(var)
        BAIS.append(bais)
        print i+1
    return MSE,BAIS,VAR
#MSE,BAIS,VAR =getMSE_VAR_BAIS(N=1000,T=1000,f0=1,func1=func2_7)
MSE,BAIS,VAR =getMSE_VAR_BAIS(N=1000,T=1000,f0=0.5,func1=func2_8)
xa=[i+1 for i in range(10)]
plt.plot(xa,MSE,'ro-',label='MSE')
plt.plot(xa,BAIS,'bo-',label='sq. BAIS')
plt.plot(xa,VAR,'go-',label='VAR')
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()