HDU 5728 - PowMod

HDU 5728 - PowMod

题意：
    定义： k = ∑(i=1,m) φ(i∗n) mod 1000000007

给出： n,m,p ，且 n 无平方因子

求： ans= k^(k^(k...k)) mod p  (k有无限个)
    
分析：

欧拉函数 + 指数循环节
    
    第一部分 求出 k.
        　　定理： 1.欧拉函数是非完全积性函数: φ(m*n) = φ(n)*φ(m) , 当且仅当GCD(n,m) = 1.
        　　应用：
            　　∑(i=1,m)φ(i*n) = φ(pi) * ∑(i=1,m)φ(i*n/pi) + ∑(i=1,m/pi)φ(i*n) ; (n无平方因子数)　，可自行推导
    第二部分
        　　应用指数循环节化无限为有限，具体实现为递归操作
        
       　　指数循环节： A^x = A^(x % φ(C) + φ(C)) (mod C)  (x >= φ(C))

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 const int MOD= ;
 const int MAXN=1e7;
 int euler[MAXN+];
 long long sum[MAXN+];
 long long k,n,m,p;
 void GetEuler()
 {
     memset(euler,,sizeof(euler));
     euler[]=;
     for(int i = ;i <= MAXN;i++)
         if(!euler[i])
             for(int j = i;j <= MAXN;j += i)
             {
                 if(!euler[j]) euler[j]=j;
                 euler[j] = euler[j] / i * (i-);
             }
     sum[]=;
     for(int i = ;i <=MAXN; i++)
         sum[i] = (sum[i-] + euler[i]) % MOD;
 }
 long long Get_K(long long n,long long m)
 {
     if(m==) return ;
     if(m==) return euler[n];
     if(n==) return sum[m];
     if(euler[n]==n-) return (euler[n]*Get_K(,m)%MOD + Get_K(n,m/n))%MOD;
     for(int i=;i<MAXN;i++)
         if(n%i==)
             return (euler[i] * Get_K(n/i,m)%MOD + Get_K(n,m/i) ) % MOD;
 }
 long long PowMod(long long a,long long b, long long mod)
 {
     long long r = ;
     while(b)
     {
         if(b&) r = (r*a)%mod;
         a= (a*a)%mod;
         b>>=;
     }
     return r;
 }
 long long Cal(long long k, long long p)
 {
     if( p == ) return k&;//mod φ(p)
     return PowMod(k,Cal(k,euler[p])+euler[p],p);//递归的计算ans，递归出口为φ(p)=1
 }
 int main()
 {
     GetEuler();
     while(~scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p))
     {
         k = Get_K(n,m);
         printf("%lld\n",Cal(k,p));
     }
 }

/*
欧拉函数：
对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。   例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

通式：
    对于一个正整数N的素数幂分解    N = (P1^q1) * (P2^q2) * ...* (Pn^qn).
        φ(1) = 1.
        φ(N) = N * (1-1/P1) * (1-1/P2) *...* (1-1/Pn).

定理：
    1.欧拉函数是非完全积性函数: φ(m*n) = φ(n)*φ(m) , 当且仅当GCD(n,m) = 1.

    2.一个数的所有质因子之和是  euler(n)*n/2.

    3.若n是素数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质.

特殊性质：
    1.当n为奇数时，φ(2n) = φ(n).
    2.对于质数p，φ(p) = p - 1
    3.除了N=2,φ(N)都是偶数.

指数循环节：
    A^x = A^(x % φ(C) + φ(C)) (mod C)  (x >= φ(C)) 

定理1 应用：
    ∑(i=1,m)φ(i*n) = φ(pi) * ∑(i=1,m)φ(i*n/pi) + ∑(i=1,m/pi)φ(i*n) ; (n无平方因子数)

*/