（转） [组合数学] 第一类，第二类Stirling数，Bell数

一.第二类Stirling数

定理：第二类Stirling数S(p,k)计数的是把p元素集合划分到k个不可区分的盒子里且没有空盒子的划分个数。

证明：元素在哪些盒子并不重要，唯一重要的是各个盒子里装的是什么，而不管哪个盒子装了什么。

递推公式有：S(p,p)=1 (p>=0)         S(p,0)=0  (p>=1)         S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1)   (1<=k<=p-1) 。考虑将前p个正整数，1，2，.....p的集合作为要被划分的集合，把

{1,2,.....p}分到k个非空且不可区分的盒子的划分有两种情况：

(1)那些使得p自己单独在一个盒子的划分，存在有S(p-1,k-1)种划分个数

(2)那些使得p不单独自己在一个盒子的划分，存在有 k*S(p-1,k)种划分个数

考虑第二种情况，p不单独自己在一个盒子，也就是p和其他元素在一个集合里面，也就是说在没有放p之前，有p-1个元素已经分到了k个非空且不可区分的盒子里面（划

分个数为S(p-1,k），那么现在问题是把p放在哪个盒子里面呢，有k种选择，所以存在有k*S(p-1,k)。

模板：

注意：要用long long类型，当元素个数>20，就超int类型了。

扩展：k! *S(p,k) 计数的是把p元素集合划分到k个可区分的盒子里且没有空盒子的划分个数。

二.Bell数

定理：Bell数B(p)是将p元素集合分到非空且不可区分盒子的划分个数（没有说分到几个盒子里面）。

B(p)=S(p,0)+S(p,1)+.....+S(p,k)

所以要求Bell数就要先求出第二类Stiring数。

三.第一类Stirling数

定理：第一类Stirling数s(p,k)计数的是把p个对象排成k个非空循环排列的方法数。

证明：把上述定理叙述中的循环排列叫做圆圈。递推公式为：

s(p,p)=1 (p>=0)    有p个人和p个圆圈，每个圆圈就只有一个人

s(p,0)=0 (p>=1)    如果至少有1个人，那么任何的安排都至少包含一个圆圈

s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1)

设人被标上1,2,.....p。将这p个人排成k个圆圈有两种情况。第一种排法是在一个圆圈里只有标号为p的人自己，排法有s(p-1,k-1)个。第二种排法中，p至少和另一个人在一

个圆圈里。这些排法可以通过把1,2....p-1排成k个圆圈再把p放在1,2....p-1任何一人的左边得到，因此第二种类型的排法共有(p-1)*s(p-1,k)种排法。

在证明中我们所做的就是把{1,2,...,p}划分到k个非空且不可区分的盒子，然后将每个盒子中的元素排成一个循环排列。