积性函数与Dirichlet卷积

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积性函数

定义

若 $gcd(x,y)=1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为积性函数。

性质

若 $f(x)$ 和 $f(y)$ 均为积性函数，则以下函数为积性函数：

$h(x) = f(x^p)$

$h(x) = f^p(x)$

$h(x) = g(x)f(x)$

$h(x) = \sum_{d|x} f(d)g(\frac{x}{d})$

后面两条性质非常重要，会经常用。它说明了两个积性函数的乘积仍是积性函数、两个积性函数的Dirichlet卷积仍是积性函数。

例如，\begin{aligned}
h(x_1x_2) &= \sum_{d|x_1x_2} f(d)g(\frac{x_1x_2}{d}) \\
&= f(1)g(15) + f(3)g(5) + f(5)g(3) + f(15)g(1) \\
&= [f(1)g(3) + f(3)g(1)]*[f(1)g(5)+f(5)g(1)] \\
&= h(3)h(5)
\end{aligned}

例子

• 单位函数：$\varepsilon(n) = [n=1]$
• 恒等函数：$id_k(n) = n^k$，$id_1(n)$ 通常简记作 $id(n)$
• 常数函数：$1(n)=1$
• 除数函数：$\sigma_k(n) = \sum_{d|n}d^k$，$\sigma_0(n)$ 通常记作 $d(n)$ 或者 $\tau(n)$（表示约数的个数），$\sigma_1(n)$ 通常记作 $\sigma(n)$
• 莫比乌斯函数：$\mu(n)$

Dirichlet卷积

定义

定义两个数论函数 $f,g$的Dirichlet卷积为

$$(f*g)(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

性质

Dirichlet卷积满足交换律和结合律

其中 $\varepsilon$ 为Dirichlet卷积的单位元（任何函数卷 $\varepsilon$ 都为本身）

例子

$\displaystyle \varepsilon = \mu * 1 \Leftrightarrow  \varepsilon (n) = \sum_{d|n}\mu (d)$

$\displaystyle d = 1*1 \Leftrightarrow d(n) = \sum_{d|n}1$

$\displaystyle \sigma = ID*1 \Leftrightarrow \sigma (n) = \sum_{d|n}d$

$\displaystyle ID = \varphi * 1 \Leftrightarrow ID(n) = \sum _{d|n} \varphi (d)$

$\displaystyle \varphi = \mu * ID \Leftrightarrow \varphi (n) = \sum_{d|n}d\cdot \mu(\frac{n}{d})$

还有一个常用来消 $d$ 的，

$n\cdot d = ID*ID  \Leftrightarrow n\cdot d(n) = \sum_{d|n}ID(d) \cdot ID(\frac{n}{d})$

证明

1、证 $\displaystyle \varepsilon (n) = \sum_{d|n}\mu(d)$.

解：设 $\displaystyle n = \prod_{i=1}^k{p_i}^{c_i}, \ {n}' = \prod_{i=1}^k p_i$

那么 $\displaystyle \sum_{d|n}\mu (d) = \sum_{d|{n}'}  \mu (d) = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}(-1)^i = (1-1)^k$.

当 $k=0$ 即 $n=1$ 时值为1否则为0，这就证明了 $\displaystyle \sum_{d|n}\mu (d) = [n=1]$.

2、证 $n = \sum_{d|n}\varphi (d)$

解：将 $n$ 质因数分解，$\displaystyle n = \prod_{i=1}^k{p_i}^{c_i}$

首先，因为 $\varphi$ 为积性函数，所以 $\varphi * 1$ 也是积性函数，

所以 $(\varphi  * 1)(n) = (\varphi  * 1)({p_1}^{c_1}) \cdot (\varphi  * 1)({p_2}^{c_2})\cdot ... \cdot  (\varphi  * 1)({p_k}^{c_k})$.

故我们只要证明当 ${n}' = p^c$ 时，$\displaystyle \varphi *1 = \sum_{d|{n}'} \varphi (\frac{{n}'}{d}) =ID$ 成立即可。

因为 $p$ 是质数，于是 $d = p^0, p^1, ..., p^c$.

因此：

$$\begin{aligned}
\varphi *1 &= \sum_{d|n}\varphi (\frac{n}{d}) \\
&= \sum_{i=0}^c \varphi(p^i) \\
&= 1 + p^0\cdot (p-1) + p^1\cdot (p-1) + ... + p^{c-1}(p-1) \\
&= p^c
\end{aligned}$$

该式子两边同时卷积 $\mu$ 可得 $\varphi = ID * \mu$，即 $\varphi (n) = \sum_{d|n}d\cdot \mu (\frac{n}{d})$