「中山纪中集训省选组D2T1」书堆欧拉常数

题目描述

蚂蚁是勤劳的动物，他们喜欢挑战极限。现在他们迎来了一个难题！蚂蚁居住在图书馆里，图书馆里有大量的书籍。书是形状大小质量都一样的矩形。蚂蚁要把这些书摆在水平桌子的边缘。蚂蚁喜欢整洁的布置，所以蚂蚁规定书本必须水平摆放，宽必须平行于桌缘（如图），而且不允许同一高度摆多本书。

蚂蚁想要让书本伸出桌子边缘尽量远，同时不让书因为重力垮下来。它们已经用不知道什么方法测出了书的长度$M$（如图）。如果总共有$N$本书，请你帮忙计算如何摆放使得最多水平伸出桌缘多远。你不用考虑蚂蚁用什么方法搭建这堆书。

如果某本书以上的所有书的重心的竖直射影不在这本书上，或者正好落在在这本书的边界上，那么这堆书是不稳定的，会因为重力而垮下来。

注意：

不考虑地球自转，重力系数也不因高度改变；

书是质量均匀，质地坚硬的理想二维物体；

在不会垮的前提下，每本书的位置坐标可以是任意实数。

输入格式

输入文件仅含一行，两个正整数$N$和$M$，表示书本数和书本长度。

输出格式

输出仅包含一行，整数$L$，表示水平延伸最远的整数距离 (不大于答案的最大整数，详见样例)

样例

样例输入1

1 100

样例输出1

2 100

样例输出2

数据范围

$10\%$的数据中$N\leq5$；

$20\%$的数据中$N\leq10^3$；

$40\%$的数据中$N\leq10^7$；

$100\%$的数据中$N\leq10^{18}$；答案$\leq10^6$。

题解

设$f_i$表示$i$本书达到最大位置时最下方的书与最上方的书的中点的距离。显然，$f_1=0$。

那么先考虑怎么通过$f$的前$i$个值计算出$f_{i+1}$。

记$f$的前缀和为$g$，那么前$i$本书的总重心与最上方的书的中点的距离是$\frac{g_i}{i}$。而要保证伸出的距离最长，显然应该让上面$i$本书的总重心落在第$i+1$本书的边缘上。这样就会发现，$f_{i+1}=\frac{g_i}{i}+\frac{M}{2}$。这样，我们就可以递推计算答案了。

但是，$N$是$10^{18}$级别的，这样的递推公式没法满足我们，我们首先得将$g$消去。

考虑到$g_i=g_{i-1}+f_i$，$f_i=\frac{g_{i-1}}{i-1}+\frac{M}{2}$，将他们代入上式。

\[f_{i+1}=\frac{g_{i-1}+\frac{g_{i-1}}{i-1}+\frac{M}{2}}{i}+\frac{M}{2}=\frac{\frac{i\cdot g_{i-1}}{i-1}+\frac{M}{2}}{i}+\frac{M}{2}=\frac{g_{i-1}}{i-1}+\frac{M}{2}+\frac{M}{2i}=f_i+\frac{M}{2i}
\]

这样，我们就有了用$f_i$求$f_{i+1}$的方法，也就知道了$f_i=\sum_{k=1}^{i-1}\frac{M}{2k}$，而我们要求的$N$本书的最长延伸距离恰好就等于$f_{N+1}$，也就是$M\cdot\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2i}$。我们只需要快速求出正整数的倒数和，就可以快速计算$f$了。

至于如何求正整数的倒数和呢？当$N\leq10^7$时，我们可以$O(N)$暴力求解，然而$N$更大的话就会超时。但同时我们可以注意到，答案不超过$10^6$，相当于我们只要求出答案的前$6$位有效数字即可，于是我们可以借助欧拉常数计算，如下：

\[\gamma=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\ln(n)
\]

于是当$N$很大时，我们可以用$\ln(N)$和$\gamma$相加求出正整数的倒数和的近似值。至于$\gamma$具体是多少，可以通过暴力计算$\sum_{i=1}^{10^9}\frac{1}{i}$与$\ln(10^9)$的差得出近似值，大约是$0.57721566$。

吐槽：这题不知道欧拉常数就做不了啊（虽然欧拉常数基本可以当成一个常识了）……不知道的人就算推出倒数和的形式也搞不出来啊……

$Code:$

#include <cmath>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define ll long long

ll n;

int m;

int main()

{

	scanf("%lld%d", &n, &m);

	if (n <= 10000000)

	{

		long double ans = 0;

		for (int i = 1; i <= n; i++)

			ans += 1 / (long double)i;

		ans /= 2;

		printf("%d\n", int(ans * m - 1e-6));

	}

	else

	{

		long double ans = (log(n) + 0.57721566) / 2;

		printf("%d\n", int(ans * m - 1e-6));

	}

}