【Codeforces 142C】Help Caretaker

Codeforces 142 C

题意：给一个\(n\times m\)的空矩阵，求里面放最多的可旋转的\(T\)字形的个数，并输出方案。

思路1：

由于\(n\)和\(m\)比较小，所以可以尝试搜索。

对于每一个格子，尝试\(T\)字形的\(4\)种旋转方式，然后看\(T\)字形覆盖到的格子是否已经被覆盖了，如果没有那么就可以进入下一个格子。

这样是会\(TLE\)的。所以考虑最优性剪枝。对于这个格子，如果已经放的\(T\)字形的个数加上后面能放的最多个数（剩下的空格子/5）还不比最佳答案大，那么就不必继续了。

想一想后发现其实我们还能剪掉更多的枝叶。因为\(T\)字形的特殊性，它在放置的时候是不可能把能放的所有格子填满的，而是会浪费一些格子，所以我们有了一个大胆的想法：每个\(T\)字形会实际占据大于5个的格子数，这里通过调参得到6.5个格子的效果最好。所以就这样搜过去了。

思路2：

由于\(n\)和\(m\)比较小，所以可以考虑状态压缩动态规划。

首先假设当前处理到\((x,y)\)格子。我们知道每一个\(T\)字形会占据\(3\times 3\)的空间，然后就可以想到将\((x,y)\)一直到\((x+2,y+2)\)是否被\(T\)字形覆盖的情况都存下，即存\(2\times m+3\)个格子，也不会出现空间或时间不够的情况。

然后就可以想出\(dp\)状态和转移方程了：\(dp(x,y,mask)\)按照之前所说，考虑到\((x,y)\)这个格子，\((x,y)\)到\((x+2,y+2)\)的覆盖情况在\(mask\)中，最多放的\(T\)字形数量。

方程也就是考虑这里\(T\)字形放哪一种旋转的方式，将\(mask\)中相应的位置更改是否被覆盖的状态，注意需要判断一下是否原来没有被覆盖，如果已经被覆盖了就不能放。

最后就是要输出方案的问题了。

有两种方式：

• 像正常的\(dp\)一样对于每一个状态记录\(prev\)表示当前状态从哪一个状态转移来，从初始状态一直通过\(prev\)走到最终状态。
• 类似于重做一遍\(dp\)，看当前的最大值由哪一个状态转移而来，然后一直走到最终状态。