吉布斯现象（ Gibbs）

在连续傅里叶级数（或积分）变换中，信号所对应的离散频谱（或连续频谱）为（或），其频率是无限离散分布的（或频谱的分布范围是无限区间的）。很显然，单位时间内，频率较低（简称低频，即较小）的简谐波相对频率较高（简称高频，即较大）的简谐波在空间的变化要平稳得多。例如，时所对应的直流分量在空间是不变化的（信号在整个区间的平均值），其它成分的信号则随频率的增大而更加快速变化。

对于一个在有限区间分布的信号，其连续频谱在频率域的分布往往是无限区间的。实际信号处理时，我们通常只能在有限区间内做傅里叶分析（除非理论分析），也就是说，我们只能取有限区间来替代理论分析中的无限区间，多数情况下，我们总是选择信号的低频部分，而舍弃高频部分。信号的高频部分往往反映的是信号的快速变化特征，如果信号本身是连续的，这样做一般不会引起信号的显著变化；可是，如果信号的高频成分比较丰富、比较重要，特别是在信号本身存在较为明显的剧烈突变时，这样做自然就会引起一定的误差。让我们举例对它进行分析。

设有一方波信号，其表达式为

在有限区间上该信号的连续傅里叶级数变换所对应的离散频谱为

并且有

实际工作中，我们不可能进行无限相的计算问题。通常我们只能采取一定程度的近似逼近，即用一个正整数M来代替上式中的无穷大

这样得到的有限频谱的逼近信号与原始信号见图。

从图中可以看到，在原始信号的突变点处，逼近信号出现了明显的振荡现象，随着M的增大，这些振荡并没有消失，而是更加集中于突变点附近。这种在突变点处出现的振荡现象被称为吉布斯（Gibbs）现象，它是由于在反变换的计算过程中用有限项近似无限项从而丢失原始信号中的高频成分所致。吉布斯现象在信号的变换及滤波器的设计和应用中极为普遍。

（生成此图形的软件名：Gibbs_Phenomena_CFST.m）

在连续傅里叶变换积分变换中，是否存在Gibbs现象？回答是肯定的,通过在CFT中采用有限区间的频率范围计算

可以得到不同的结果（见下图）。

（生成此图形的软件名：Gibbs_Phenomena_CFT.m）

（读者可认真比较以上两类信号的傅里叶级数与傅里叶积分之区别。）