P1373 小a和uim之大逃离 (动态规划)

题目背景

小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来，一片乌云从北部天边急涌过来，还伴着一道道闪电，一阵阵雷声。刹那间，狂风大作，乌云布满了天空，紧接着豆大的雨点从天空中打落下来，只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物，低沉着声音说：“呵呵，既然你们来到这，只能活下来一个！”。小a和他的小伙伴都惊呆了！

题目描述

瞬间，地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵，矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶，说道，你们可以从矩阵的任一个格子开始，每次向右或向下走一步，从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液，下一步由uim吸收，如此交替下去，并且要求最后一步必须由uim吸收。魔瓶只有k的容量，也就是说，如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零，如果装了k+2就只剩下1，依次类推。怪物还说道，最后谁的魔瓶装的魔液多，谁就能活下来。小a和uim感情深厚，情同手足，怎能忍心让小伙伴离自己而去呢？沉默片刻，小a灵机一动，如果他俩的魔瓶中魔液一样多，不就都能活下来了吗？小a和他的小伙伴都笑呆了！

现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。

输入输出格式

输入格式：

第一行，三个空格隔开的整数n，m，k

接下来n行，m列，表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。

输出格式：

一个整数，表示方法数。由于可能很大，输出对1 000 000 007取余后的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

【题目来源】

lzn改编

【样例解释】

样例解释：四种方案是：(1,1)->(1,2),(1,1)->(2,1),(1,2)->(2,2),(2,1)->(2,2)。

【数据范围】

对于20%的数据，n,m<=10,k<=2

对于50%的数据，n,m<=100,k<=5

对于100%的数据，n,m<=800,1<=k<=15

Solution

关于这道题,其实状态一看数据范围就出来了.

f[ i ] [ j ][ k ] 或者再多加一维.

但是在 k 这维上我思考了很久...

1. 表示当前以这个点为起点然后最终合法状态为k ?

很显然这样一点都不好更新,这样子的话 c数组就很难起作用了.

2. 表示当前这个点为起点,再加一维,表示是小a还是uim 然后可以达到k 的方案数?

一开始想了想这样发现其实根本不满足无后效性. 当前这个点为起点可以到达的方案数可以求出来但是这些路径需要在一条路上才可以更新.

所以,最后面还是想了很久.发现可做的是---差值...

状态f 表示 i,j 这个格子以小a->0 或 uim->1 差值为k的方案数.
注意差值是小a的 - uim的

于是有前导状态:
f[i-1][j][k][1]
f[i][j-1][k][0]
f[i-1][j][k][1]
f[i][j-1][k][0]

我是真的蠢,一开始硬是没有想到差值这一方面.

最后面将每一个点差值为0的方案数求和即可.

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int f[][][][];

int c[][],n,m,k,ans;

const int mo=;

int main()

{

    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);++k;

    for(int i=;i<=n;i++)

    for(int j=;j<=m;j++)

    {

        scanf("%d",&c[i][j]);

        f[i][j][c[i][j]%k][]=;

    }

    for(int i=;i<=n;i++)

    for(int j=;j<=m;j++)

    for(int h=;h<=k;h++)

    {

        f[i][j][h][]=(f[i][j][h][]+f[i-][j][(h-c[i][j]+k)%k][])%mo;

        f[i][j][h][]=(f[i][j][h][]+f[i][j-][(h-c[i][j]+k)%k][])%mo;

        f[i][j][h][]=(f[i][j][h][]+f[i-][j][(h+c[i][j])%k][])%mo;

        f[i][j][h][]=(f[i][j][h][]+f[i][j-][(h+c[i][j])%k][])%mo;

    }

    for(int i=;i<=n;i++)

    for(int j=;j<=m;j++)

    ans=(ans+f[i][j][][])%mo;

    cout<<ans<<endl;

    return ;

}