2019 Multi-University Training Contest 7 Kejin Player 期望dp

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题意：有n个等级，在每个等级花费$ai$的代价有$pi$的几率升到$i+1$级，$1-pi$的概率降级降到$xi$（xi<=i），给出q次询问，每次询问从$l$级到$r$级的代价的期望。

思路：

　　此题的期望是满足加减的，即<l,r>的期望等于<1,r>的减去<1,l>的。

　　设$E[i][j]$表示从i级升到j级需要付出的额外代价。

　　则由$E[i][i+1]=ai*pi+(1-pi)*(ai+E[xi][i+1])$

　　　　　　=$ai*pi+(1-pi)(ai+E[xi][i]+E[i][i+1])$。

　　移项、合并同类型可得 $pi*E[i][i+1]=ai*pi+(1-pi)*ai+(1-pi)*E[xi][i]$。如果从1到n递推，对于i来说，这个式子右边都是已知的，所以可以求出。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,b,a) for(int i=b;i>=a;i--)
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pii pair<int,int >
using namespace std;
typedef long long ll;
ll rd() {
    ll x=,f=;
    char ch=getchar();
    while(ch<''||ch>'') {
        if(ch=='-')f=-;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>=''&&ch<='') {
        x=x*+ch-'';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
const int maxn=+;
ll mod=1e9+;
ll qpow(ll a,ll b){
    ll res=;
    while(b){
        if(b&)res=res*a%mod;
        b>>=;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
ll n,q,m,k,T;
ll r[maxn],s[maxn],x[maxn],a[maxn],dis[maxn],p[maxn];
int main(){
    cin>>T;
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&q);
        for(int i=;i<=n;i++){
            scanf("%lld%lld%lld%lld",&r[i],&s[i],&x[i],&a[i]);
            p[i]=((s[i]-r[i]+mod)%mod)*qpow(r[i],mod-)%mod;
        }
        rep(i,,n){
            dis[i+]=((dis[i]+a[i])%mod+p[i]*a[i]%mod+(dis[i]-dis[x[i]]+mod)%mod*p[i]%mod+mod)%mod;
        }
        while(q--){
            ll l,r;
            scanf("%lld%lld",&l,&r);
            printf("%lld\n",(dis[r]-dis[l]+mod)%mod);
        }
    }
}