CF1166E The LCMs Must be Large

构造趣题

正着推其实很不好推

不妨大力猜结论

如果两两集合都有交,那么一定可以

证明:

1.显然如果两个集合没有交,一定不可以

2.否则给每个集合Si乘上一个质数pi,pi互不相同

由于两两有交,那么一个集合Si的LCM一定是所有p的乘积,而其补集一定没有pi这个质数,一定小于

所以充分必要性得证

证毕。

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. #define reg register int
  3. #define il inline
  4. #define fi first
  5. #define se second
  6. #define mk(a,b) make_pair(a,b)
  7. #define numb (ch^'0')
  8. #define pb push_back
  9. #define solid const auto &
  10. #define enter cout<<endl
  11. #define pii pair<int,int>
  12. using namespace std;
  13. typedef long long ll;
  14. template<class T>il void rd(T &x){
  15. char ch;x=;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
  16. for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*+numb);(fl==true)&&(x=-x);}
  17. template<class T>il void output(T x){if(x/)output(x/);putchar(x%+'');}
  18. template<class T>il void ot(T x){if(x<) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
  19. template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('\n');}
  20. namespace Modulo{
  21. const int mod=;
  22. int ad(int x,int y){return (x+y)>=mod?x+y-mod:x+y;}
  23. void inc(int &x,int y){x=ad(x,y);}
  24. int mul(int x,int y){return (ll)x*y%mod;}
  25. void inc2(int &x,int y){x=mul(x,y);}
  26. int qm(int x,int y=mod-){int ret=;while(y){if(y&) ret=mul(x,ret);x=mul(x,x);y>>=;}return ret;}
  27. }
  28. //using namespace Modulo;
  29. namespace Miracle{
  30. const int M=;
  31. const int N=1e4+;
  32. bitset<N>s[M],lp;
  33. int main(){
  34. int n,m;rd(m);rd(n);
  35. for(reg i=;i<=m;++i){
  36. int k;rd(k);
  37. for(reg j=;j<=k;++j) {
  38. int x;rd(x);s[i][x]=;
  39. }
  40. for(reg j=;j<i;++j){
  41. lp=s[i]&s[j];
  42. if(lp.count()==) goto nd;
  43. }
  44. }
  45.  
  46. puts("possible");
  47. return ;
  48. nd:;
  49. puts("impossible");
  50. return ;
  51. }
  52.  
  53. }
  54. signed main(){
  55. Miracle::main();
  56. return ;
  57. }
  58.  
  59. /*
  60. Author: *Miracle*
  61. */

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