基于Caffe的Large Margin Softmax Loss的实现（中）

小喵的唠叨话：前一篇博客，我们做完了L-Softmax的准备工作。而这一章，我们开始进行前馈的研究。

小喵博客: http://miaoerduo.com

博客原文:  http://www.miaoerduo.com/deep-learning/基于caffe的large-margin-softmax-loss的实现（中）.html

四、前馈

还记得上一篇博客，小喵给出的三个公式吗？不记得也没关系。

这次，我们要一点一点的通过代码来实现这些公式。小喵主要是GPU上实现前后馈的代码，因为这个层只是用来训练，GPU速度应该会快一点。

我们首先要进行一般的FC层的前馈，因为LM_FC的前馈只是修改了一般的FC中的若干个值，而大部分的值都是没有修改过的。

 const Dtype* bottom_data = bottom[]->gpu_data();
 const Dtype* label_data = bottom[]->gpu_data();
 Dtype* top_data = top[]->mutable_gpu_data();
 const Dtype* weight = this->blobs_[]->gpu_data();
 // 普通fc层的计算
 if (M_ == ) {
   caffe_gpu_gemv<Dtype>(CblasNoTrans, N_, K_, (Dtype).,
                        weight, bottom_data, (Dtype)., top_data);
 } else {
   caffe_gpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans,
                         transpose_ ? CblasNoTrans : CblasTrans,
                         M_, N_, K_, (Dtype).,
                         bottom_data, weight, (Dtype)., top_data);
 }

这样就计算完了一个普通的FC的前馈。

之后是一些具体的实现。

1，$\cos(\theta_j)=\frac{W_j^Tx_i}{\|W_j\|\|x_i\|}$

这是要求出label为$j$的weight的权值和feature之间的余弦值。公式大家在高中应该就学过了。这样需要出三部分：$W_j^Tx_i$，$\|W_j\|$和$\|x_i\|$。这里$i$表示feature的序号，因为一个mini batch中有很多张图片。$j$表示正确的label值。

$W_j^Tx_i$的计算非常简单，因为FC层的前馈计算出来的就是这个值。因此我们可以直接从FC的前馈结果中直接复制对应位置的结果。

$\|W_j\|$和$\|x_i\|$是比较简单的模值的计算，使用caffe_cpu_dot很容易就可以求得（为什么不使用caffe_gpu_dot呢？因为小喵在使用caffe_gpu_dot的时候，caffe会报一个奇怪的错误，不知道是不是因为GPU的显存不能随意访问的）。

最后的余弦值带入到上面的式子，就一下子搞定~

这里用到了几个变量：

M_: batch size

N_: class num

K_: feature length

 // w * x
 // 直接从前馈的结果中复制
 Dtype *wx_data = this->wx_.mutable_gpu_data();
 copy_label_score<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(M_, N_, label_data, top_data, wx_data);

 // w * w
 Dtype *abs_w_data = this->abs_w_.mutable_cpu_data();
 for (int m = ; m < M_; ++ m) {
   abs_w_data[m] = caffe_cpu_dot<Dtype>(
     K_,
     this->blobs_[]->cpu_data() + static_cast<int>(label_cpu_data[m]) * K_,
     this->blobs_[]->cpu_data() + static_cast<int>(label_cpu_data[m]) * K_
     );
 }

 // x * x
 Dtype *abs_x_data = this->abs_x_.mutable_cpu_data();
 for (int m = ; m < M_; ++ m) {
   abs_x_data[m] = caffe_cpu_dot<Dtype>(
     K_,
     bottom[]->cpu_data() + m * K_,
     bottom[]->cpu_data() + m * K_
     );
 }
 // abs_w, abs_x
 caffe_gpu_powx<Dtype>(M_, this->abs_w_.mutable_gpu_data(), 0.5, this->abs_w_.mutable_gpu_data());
 caffe_gpu_powx<Dtype>(M_, this->abs_x_.mutable_gpu_data(), 0.5, this->abs_x_.mutable_gpu_data());

 // cos_t = wx / (|x| * |w|)
 Dtype *cos_t_data = this->cos_t_.mutable_gpu_data();
 caffe_gpu_div<Dtype>(M_, wx_data, this->abs_x_.gpu_data(), cos_t_data);
 caffe_gpu_div<Dtype>(M_, cos_t_data, this->abs_w_.gpu_data(), cos_t_data);

其中copy_label_score是我们自己编写的用来复制结果的核函数（如何编写Cuda程序就是另一门学科了）：

 template <typename Dtype>
 __global__ void copy_label_score(const int M, const int N, const Dtype *label_data, const Dtype *top_data, Dtype *wx_data) {
   CUDA_KERNEL_LOOP(index, M) {
     wx_data[index] = top_data[index * N + static_cast<int>(label_data[index])];
   }
 }

相信机智如你的喵粉，看到这几行代码，一定可以轻松理解。

这里，小喵想多介绍一点东西。
我们知道Caffe里面的数据都是通过Blob结构来存储的，比如这里的bottom_data，其实就是一个blob，默认形状是(n, c, h, w)，n表示的就是batch size，c是channel数，h，w分贝表示高和宽。而且blob中的内存的存储顺序，也和一般的C语言中的数组一样。因此我们这里计算feature的模的时候，是直接每K_个数值计算一次点乘。
同理，weight是存储在this->blobs[0]中的，那么weight的形状又是什么样子的呢？这里非常碰巧的是，如果我们在prototxt中设置的transpose为false的话，weight的形状是N_*K_，也就是说，我们可以将weight看成一个矩阵，它的每一行都与feature直接点乘，得到输出，也就是说weight的每一行都是我们需要计算模值的$W_j$，所以我们计算weight的模的时候，用的计算方法和计算feature模时很相似。我们这里强制设置transpose为false，因为这样计算会比较简单。如果你设成了true，那就必须自己写个求模的函数了。

2，$\cos(m\theta_i)=\sum_n(-1)^n{C_m^{2n}\cos^{m-2n}(\theta_i)\cdot(1-\cos(\theta_i)^2)^n}, (2n\leq m)$

我们在(1)中求出了$\cos(\theta)$，对于给定的margin，只需要代入公式就可以求出$\cos(m\theta)$的值了。

 template <typename Dtype>
 __global__ void cal_cos_mt(const int count, const unsigned int margin, const int *C_M_N, const Dtype *cos_t_data, Dtype *cos_mt_data) {
   CUDA_KERNEL_LOOP(index, count) {
     Dtype cos_t = cos_t_data[index];
     Dtype sin_t_2 =  - cos_t * cos_t;
     Dtype cos_mt = .;
     int flag = -;
     for (int n = ; n <= (margin / ); ++ n) {
       flag *= -;
       cos_mt += flag * C_M_N[ * n] * powf(cos_t, (margin -  * n)) * powf(sin_t_2, n);
     }
     cos_mt_data[index] = cos_mt;
   }
 }

上面是用来计算$\cos(m\theta)$的cuda函数，调用也十分的简单：

 // cos(mt)
 cal_cos_mt<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(
   M_, this->margin, this->C_M_N_.gpu_data(), this->cos_t_.mutable_gpu_data(), this->cos_mt_->mutable_gpu_data());

3，$f_{y_{i}}=(-1)^k\cdot\|W_{y_{i}}\|\|x_{i}\|\cos(m\theta_i)-2k\cdot\|W_{y_i}\|\|x_i\|$

严格上来说，我们需要求的并不是这个式子，而是：

\[f_{y_i}=\frac{\lambda\|W_{y_i}\|\|x_i\|\cos(\theta_{y_i})+\|W_{y_i}\|\|x_i\|\varphi(\theta_{y_i})}{1+\lambda}\]

\[\varphi(\theta)=(-1)^k\cos(m\theta)-2k, \theta\in[\frac{k\pi}{m}, \frac{(k+1)\pi}{m}]\]

可以看出，当$\lambda$为0的时候，这两个式子就退化成前面的一个式子了。

k的求法十分简单，只需要将$\cos(\theta)$与各个区间进行比较就可以得到。

 // k
 int *k_cpu_data = this->k_.mutable_cpu_data();
 const Dtype *cos_t_cpu_data = this->cos_t_.cpu_data();
 for (int m = ; m < M_; ++ m) {
   for (int _k = ; _k < this->cos_theta_bound_.count(); ++ _k) {
     if (this->cos_theta_bound_.cpu_data()[_k] < cos_t_cpu_data[m]) {
       k_cpu_data[m] = _k - ;
       break;
     }
   }
 }

最后一步就是计算出真正的前馈值了！按照公式容易编写程序：

 template <typename Dtype>
 __global__ void LMForward(
   const int M, const int N, const float lambda,
   const Dtype *label_data, const Dtype *cos_mt_data, const int *k_data,
   const Dtype *abs_w_data, const Dtype *abs_x_data, Dtype *top_data) {

   CUDA_KERNEL_LOOP(index, M) {
     Dtype cos_mt = cos_mt_data[index];
     int k = k_data[index];
     int label = static_cast<int>(label_data[index]);
     Dtype abs_w = abs_w_data[index];
     Dtype abs_x = abs_x_data[index];
     top_data[N * index + label] =  (lambda * top_data[N * index + label] + abs_w * abs_x * ( powf(-, k) * cos_mt -  * k )) / ( + lambda);
   }
 }

调用也十分简单：

 // y
 LMForward<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(
   M_, N_, this->lambda,
   label_data, this->cos_mt_->gpu_data(), this->k_.gpu_data(),
   this->abs_w_.gpu_data(), this->abs_x_.gpu_data(), top[]->mutable_gpu_data());

最后附上，完整的前馈代码（省略头文件和caffe的名字空间）：

 template <typename Dtype>
 __global__ void copy_label_score(const int M, const int N, const Dtype *label_data, const Dtype *top_data, Dtype *wx_data) {
   CUDA_KERNEL_LOOP(index, M) {
     wx_data[index] = top_data[index * N + static_cast<int>(label_data[index])];
   }
 }

 template <typename Dtype>
 __global__ void cal_cos_mt(const int count, const unsigned int margin, const int *C_M_N, const Dtype *cos_t_data, Dtype *cos_mt_data) {
   CUDA_KERNEL_LOOP(index, count) {
     Dtype cos_t = cos_t_data[index];
     Dtype sin_t_2 =  - cos_t * cos_t;
     Dtype cos_mt = .;
     int flag = -;
     for (int n = ; n <= (margin / ); ++ n) {
       flag *= -;
       cos_mt += flag * C_M_N[ * n] * powf(cos_t, (margin -  * n)) * powf(sin_t_2, n);
     }
     cos_mt_data[index] = cos_mt;
   }
 }

 template <typename Dtype>
 __global__ void LMForward(
   const int M, const int N, const float lambda,
   const Dtype *label_data, const Dtype *cos_mt_data, const int *k_data,
   const Dtype *abs_w_data, const Dtype *abs_x_data, Dtype *top_data) {

   CUDA_KERNEL_LOOP(index, M) {
     Dtype cos_mt = cos_mt_data[index];
     int k = k_data[index];
     int label = static_cast<int>(label_data[index]);
     Dtype abs_w = abs_w_data[index];
     Dtype abs_x = abs_x_data[index];
     top_data[N * index + label] =  (lambda * top_data[N * index + label] + abs_w * abs_x * ( powf(-, k) * cos_mt -  * k )) / ( + lambda);
   }
 }

 template <typename Dtype>
 void LargeMarginInnerProductLayer<Dtype>::Forward_gpu(const vector<Blob<Dtype>*>& bottom,
     const vector<Blob<Dtype>*>& top) {
   const Dtype* bottom_data = bottom[]->gpu_data();
   const Dtype* label_data = bottom[]->gpu_data();
   Dtype* top_data = top[]->mutable_gpu_data();
   const Dtype* weight = this->blobs_[]->gpu_data();

   // 普通fc层的计算
   if (M_ == ) {
     caffe_gpu_gemv<Dtype>(CblasNoTrans, N_, K_, (Dtype).,
                          weight, bottom_data, (Dtype)., top_data);
   } else {
     caffe_gpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans,
                           transpose_ ? CblasNoTrans : CblasTrans,
                           M_, N_, K_, (Dtype).,
                           bottom_data, weight, (Dtype)., top_data);
   }

   const Dtype* label_cpu_data = bottom[]->cpu_data();

   // w * x
   // 直接从前馈的结果中复制
   Dtype *wx_data = this->wx_.mutable_gpu_data();
   copy_label_score<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(M_, N_, label_data, top_data, wx_data);

   // w * w
   Dtype *abs_w_data = this->abs_w_.mutable_cpu_data();
   for (int m = ; m < M_; ++ m) {
     abs_w_data[m] = caffe_cpu_dot<Dtype>(
       K_,
       this->blobs_[]->cpu_data() + static_cast<int>(label_cpu_data[m]) * K_,
       this->blobs_[]->cpu_data() + static_cast<int>(label_cpu_data[m]) * K_
       );
   }

   // x * x
   Dtype *abs_x_data = this->abs_x_.mutable_cpu_data();
   for (int m = ; m < M_; ++ m) {
     abs_x_data[m] = caffe_cpu_dot<Dtype>(
       K_,
       bottom[]->cpu_data() + m * K_,
       bottom[]->cpu_data() + m * K_
       );
   }

   // abs_w, abs_x
   caffe_gpu_powx<Dtype>(M_, this->abs_w_.mutable_gpu_data(), 0.5, this->abs_w_.mutable_gpu_data());
   caffe_gpu_powx<Dtype>(M_, this->abs_x_.mutable_gpu_data(), 0.5, this->abs_x_.mutable_gpu_data());

   // cos_t = wx / (|x| * |w|)
   Dtype *cos_t_data = this->cos_t_.mutable_gpu_data();
   caffe_gpu_div<Dtype>(M_, wx_data, this->abs_x_.gpu_data(), cos_t_data);
   caffe_gpu_div<Dtype>(M_, cos_t_data, this->abs_w_.gpu_data(), cos_t_data);

   // cos(mt)
   cal_cos_mt<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(
     M_, this->margin,
     this->C_M_N_.gpu_data(),
     this->cos_t_.gpu_data(),
     this->cos_mt_.mutable_gpu_data()
     );

   // k
   int *k_cpu_data = this->k_.mutable_cpu_data();
   const Dtype *cos_t_cpu_data = this->cos_t_.cpu_data();
   for (int m = ; m < M_; ++ m) {
     for (int _k = ; _k < this->cos_theta_bound_.count(); ++ _k) {
       if (this->cos_theta_bound_.cpu_data()[_k] < cos_t_cpu_data[m]) {
         k_cpu_data[m] = _k - ;
         break;
       }
     }
   }

   // y
   LMForward<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(
     M_, N_, this->lambda,
     label_data, this->cos_mt_.gpu_data(), this->k_.gpu_data(),
     this->abs_w_.gpu_data(), this->abs_x_.gpu_data(), top[]->mutable_gpu_data());
 }

那么，这样关于large margin softmax loss的前馈我们就轻松的实现了。下一篇，我们要讲最复杂的后馈的实现了。

如果您觉得本文对您有帮助，那请小喵喝杯茶吧~~O(∩_∩)O~~ 再次感慨 $\LaTeX$ 大法好。

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