LG4360 [CEOI2004]锯木厂选址

题意

原题来自：CEOI 2004

从山顶上到山底下沿着一条直线种植了 n 棵老树。当地的政府决定把他们砍下来。为了不浪费任何一棵木材，树被砍倒后要运送到锯木厂。

木材只能朝山下运。山脚下有一个锯木厂。另外两个锯木厂将新修建在山路上。你必须决定在哪里修建这两个锯木厂，使得运输的费用总和最小。假定运输每公斤木材每米需要一分钱。

你的任务是编写一个程序，读入树的个数和他们的重量与位置，计算最小运输费用。

\(n \leq 2 \times 10^5\)

分析

参照TimeTraveller的题解。这题是斜率优化，不过算不上dp。

我们先写出朴素的DP方程式：
\[
dp[i]=\min\{ totsum-dis[j]*sum[j]-dis[i]*(sum[i]-sum[j]) \}(j<i)
\]
其中\(dp[i]\)表示当前第二个工厂修到第ii棵树的位置时的最小花费，\(totsum\)表示所有树一开始全部运送的山脚下的花费，\(dis[i]\)表示距离的后缀和(因为我们是从上运到下面)，\(sum[i]\)表示树的重量的前缀和。那么在\(i,j\)处修了工厂后花费就变成了总花费\(totsum\)减去从\(j\)厂运到山脚的额外花费\(dis[j]*sum[j]\)，再减去从\(i\)厂运到山脚下的额外花费\(dis[i]∗(sum[i]−sum[j])\)。

形象的说，就是你先把\(j\)前面的木材运到\(j\)厂，然后减去这些木材运到山脚的花费，再把\(i,j\)之间的木材运到\(i\)厂，再减去它们到山脚的花费。

然后我们将DP方程式变形,令\(j,k(j<k)\)这两种决策转移到\(i\)的时候，\(k\)决策更优秀，那么就可以得到
\[
totsum-dis[j]*sum[j]-dis[i]*(sum[i]-sum[j])>totsum-dis[k]*sum[k]-dis[i]*(sum[i]-sum[k])
\]
整理后可以得出：
\[
\frac{dis[j]*sum[j]-dis[k]*sum[k]}{sum[j]-sum[k]}>dis[i]
\]

然后根据\(>\)号，对非上凸的情况分类讨论可以得出要维护上凸包。讨论过程如下：

首先假设有不上凸的连续\(i,j,k\)三个点，\(k_{i,j}<k_{j,k}\)。有三种情况

1. \[
   k_{i,j}<k_{j,k}<dis
   \]
   那么\(i\)比\(j\)优，\(j\)比\(k\)优。
2. \[
   k_{i,j}<dis<k_{j,k}
   \]
   那么\(i\)比\(j\)优，\(k\)比\(j\)优。
3. \[
   dis<k_{i,j}<k_{j,k}
   \]
   那么\(j\)比\(i\)优，\(k\)比\(j\)优。

综上，\(j\)是无用的点。所以要维护上凸性，就是上凸包。

至此，得出一般结论：

• 若斜率式后的符号是\(>\)，则维护上凸包。
• 若斜率式后的符号是\(<\)，则维护下凸包。

然后由于\(dis[i]\)单调递减，所以可以用单调队列优化。

时间复杂度\(O(n)\)。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<ctime>
#include<cstring>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read()
{
    rg T data=0;
    rg int w=1;
    rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        data=data*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return data*w;
}
template<class T>T read(T&x)
{
    return x=read<T>();
}
using namespace std;
typedef long long ll;

co int N=2e5+2;
ll w[N],d[N];
ll sum;
int q[N];

ll Up(int j,int k) // edit 1: long long for slope
{
    return d[j]*w[j]-d[k]*w[k];
}

ll Down(int j,int k)
{
    return w[j]-w[k];
}

ll Cal(int i,int j)
{
    return sum-d[j]*w[j]-d[i]*(w[i]-w[j]);
}

int main()
{
//  freopen("LG4360.in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    int n=read<int>();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        read(w[i]),read(d[i]);
    for(int i=n;i>=1;--i)
        d[i]+=d[i+1],sum+=w[i]*d[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        w[i]+=w[i-1];
    int head=0,tail=0;
    q[tail++]=0;
    ll ans=sum;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(head+1<tail&&Up(q[head+1],q[head])>=d[i]*Down(q[head+1],q[head]))
            ++head;
        ans=min(ans,Cal(i,q[head]));
        while(head+1<tail&&Up(i,q[tail-1])*Down(q[tail-1],q[tail-2])>=Up(q[tail-1],q[tail-2])*Down(i,q[tail-1]))
            --tail;
        q[tail++]=i;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}