CF839D Winter is here

题目分析

显然我们不可能直接计算每一个子序列的贡献，而应该计算对于每一个gcd对答案的贡献。

考虑容斥。按照套路：

设\(q(i)\)表示序列\(gcd\)为\(i\)的倍数的序列长度和。

设\(g(i)\)表示序列\(gcd\)为\(i\)的序列对答案的贡献。

设\(f(i)\)表示序列\(gcd\)为\(i\)的序列的容斥系数。

对于\(q(i)\)，显然我们可以利用调和级数在\(O(nlogn)\)的时间复杂度下求出\(gcd\)为\(i\)的数的个数。
那么它们形成的子序列的长度和为：\(\sum\limits_{i=0}^ni*\dbinom{n}{i}=n* 2^{n-1}\)

对于\(g(i)\)，本题中显然\(g(i)=i\)。

对于\(f(i)\)，我们按照套路可以得到：\(g(x)=\sum\limits_{d|x}f(d)\)
这个十分显然的可以直接上莫比乌斯反演。于是得到: \(f(x)=\sum\limits_{d|x}\mu(\frac{x}{d})g(d)\)
这个也很容易利用调和级数在\(O(nlogn)\)的时间复杂度下计算出来。

于是最终答案即为：\(\sum\limits_{i=2}^{10^6}q(i)* f(i)\)