Tarjian算法求强联通分量

如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

Tarjan算法是用来求有向图的强连通分量的。求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法。

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

struct node{
    int v,next;
}e[M];
int head[N],cnt;
int p[N],st[N],id,top,scc;
int dfn[N],low[N],belong[N];
void add(int u,int v){
    e[cnt].v=v,e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt++;
}
void init(){
    memset(head,-,sizeof(head));
    memset(p,,sizeof(p));
    memset(dfn,,sizeof(dfn));
    id=top=cnt=;
}
void dfs(int u){
    dfn[u]=low[u]=++id;
    st[++top]=u;p[u]=;
    int v;
    for(int i=head[u];i!=-;i=e[i].next){
        v=e[i].v;
        if(!dfn[v]){
            dfs(v);
            if(low[v]<low[u])low[u]=low[v];
        }else if(p[v]&&dfn[v]<low[u]){
            low[u]=dfn[v];
        }
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        ++scc;
        do{
            v=st[top--];
            p[v]=;
            belong[v]=scc;
        }while(v!=u);
    }
}
void Tarjian(int n){
    for(int i=;i<=n;i++){
        if(!dfn[i])
            dfs(i);
    }
    printf("%d\n",scc);
    for(int i=;i<=n;i++){
        printf("%d %d\n",i,belong[i]);
    }
}
int main(){
    int n,m,u,v;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    init();
    while(m--){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
    }
    Tarjian(n);
    return ;
}