「动态规划」-数位dp专题

数位dp，今天学长讲的稍玄学，课下花了一会时间仔细看了一下，发现板子是挺好理解的，就在这里写一些：

数位dp主要就是搞一些在区间中，区间内的数满足题目中的条件的数的个数的一类题，题目一般都好理解，这时候就要使用今天介绍的数位dp;

比如这道例题：

给定两个正整数a和b，求在[a,b]中的所有整数中，每个数字各出现了多少次。

求出在给定区间 [A,B] 内，符合条件 f(i) 的数 i 的个数。条件 f(i) 一般与数的大小无关，而与数的组成有关

由于数是按位dp，数的大小对复杂度的影响很小，这就是数位dp干的活！

题目看起来很简单，然后让我们做，我们会怎么做呢？反正我在没有学数位dp的时候当然是暴力枚举了，不用看1e12的数据范围一定会T到飞起，那我们怎么办呢？那就先让我来介绍一下数位dp吧！

数位dp的本质其实就是记忆化搜索，所以我们只要按照搜索的思路来做就好了！

我们来想一想如何设计这个搜索？

这个搜索，其实我感觉就像我们在考场上打的dfs暴力，记忆化搜索的过程就是

从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层一层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终答案。

对于 [l,r] 区间问题，我们一般把他转化为两次数位dp,即找 [0,r] 和 [0,l-1] 两段，再将结果相减就得到了我们需要的 [l,r];

所以这里的第一个套路就是遇见区间就要想前缀和！

如果理解了上述过程，我们需要考虑的就是怎样判断现在在哪一层，怎样判断当前的状态——这就需要我们传进一些参量。

我们一般设的dp状态就是f[i][.....]表示第i位......然后后面的就是题目要求的，所以就像理科生答文科题一样（虽然这个比喻并不恰当）我们就可以愉快的套板子了！

记忆化搜索的传参，我们一般传这几个：

1.搜到的位数pos，就是现在搜到了第几位;

2.lead值表示前面是不是全是前导0;1表示是，0表示不是！

3.最高位限制limit，同样0/1，表示是不是是这一位的最大的数！

4.根据题目中要求传的參！（这才是数位dp考察的！）

然后我们就来具体解释一下穿的參的一些细节！

关于limit：

如果当前位的limit==1并且去到了这一位的最大值，那么下一位limit=1;

如果当前位的limit==1但是没有取到最高值，那么下一位limit就等于0;

如果当前位的limit==0则下一位的limit==0

综上所述：这一位的数取i时，且这一位最高可以达到的值是res 则下一位的lmimit=（res==1&&limit）

关于lead标记：

如果前导0lead的值为1并且当前位的值是0，则pos+1继续搜索;

如果lead==1&&当前位不是0，那么本位可以做当前数的最高位pos+1接着搜索！

大概的dfs结构：

1.如果搜完了，就return 1;

2.如果没有最高位的限制并且已经搜过了 return value

3.获取当前位的最大数字，循环0到最大数字，循环内部根据题目的意思来判断;

　　如果前一位有前导0，下一位就随意，否则就按部就班的搜索就行了！

4.记得把这一位的dp值赋上！然后return！

A. Windy 数

题目描述

原题来自：SCOI 2009

Windy 定义了一种 Windy 数：不含前导零且相邻两个数字之差至少为

的正整数被称为 Windy 数。Windy 想知道，在和之间，包括 和 ，总共有多少个 Windy 数？

还记得引入的那道题吗？

「ZJOI2010」数字计数。

题目描述

给定两个正整数a和b，求在[a,b]中的所有整数中，每个数码(digit)各出现了多少次。

输入格式

输入文件中仅包含一行两个整数a、b，含义如上所述。

输出格式

输出文件中包含一行10个整数，分别表示0-9在[a,b]中出现了多少次。

这道题就是上面的典型题目！传得参数也挺少的，就是只要方法是对的，无论什么样的复杂度都可以AC，这里在最后就介绍一个乱搞方法！

乱搞也是要技术的！

我们发现这道题的题目要求中并没有多少坑点，那么我们可以通过打表发现没增长一个数，每一位出现的次数都会增长相同的量，所以我们大胆的进行乱搞，由于这道题只要大点模一下大数，小点就直接暴力统计就完了！

乱搞代码！

////////////未完待更！！！/////////////////////