BZOJ2440完全平方数（莫比乌斯反演）

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

, T ≤ 50

题解：

题目大意：求第k个无平方因子数是多少(无视原题干，1也是完全平方数那岂不是一个数也送不出去了？

无平方因子数(square-free number)，即质因数分解之后所有质因数的次数都为1的数

首先二分答案问题转化为求x以内有多少个无平方因子数

根据容斥原理可知对于√x以内的所有质数 x以内的无平方因子数=无需是任何质数的倍数的数的数量(即x)-是至少一个质数平方倍数的数的数量+是至少两个质数平方倍数的数的数量-是至少三个质数平方倍数的数的数量...

我们回去考虑莫比乌斯函数，我们发现每一个质数乘积的符号与莫比乌斯函数的符号恰好吻合！

于是我们枚举每一个数，如果这个数是奇数个不同质数的乘积，那么mu为负，偶数个则mu为正，否则mu为零

故答案即Σx/(i*i)*mu[i]

 /**************************************************************

     Problem: 2440

     User: SongHL

     Language: C++

     Result: Compile_Error

 ****************************************************************/

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int maxn=5e4+;

 ll Prime[maxn],mob[maxn],vis[maxn],cnt;

 int T,K;

 void Mobius()

 {

     memset(Prime,,sizeof Prime);

     memset(mob,,sizeof mob);

     memset(vis,,sizeof vis);

     mob[]=; cnt=;

     for(ll i=;i<maxn;++i)

     {

         if(!vis[i]) Prime[cnt++]=i,mob[i]=-;

         for(ll j=;j<cnt&&i*Prime[j]<maxn;++j)

         {

             vis[i*Prime[j]]=;

             if(i%Prime[j]) mob[i*Prime[j]]=-mob[i];

             else { mob[i*Prime[j]]=; break;}

         }

     }

 }

 int work(int x)

 {

     int ans=;

     for(int i=;i*i<=x;++i) ans+=x/(i*i) * mob[i];

     return ans;

 }

 int Judge()

 {

     int l=,r=K<<,mid;

     while(l+<r)

     {

         mid=(l>>)+(r>>) +(l&r&);

         if(work(mid)>=K) r=mid;

         else l=mid;

     }

     if(work(l)>=K) return l;

     return r;

 }

 int main()

 {

     scanf("%d",&T);

     Mobius();

     while(T--) { scanf("%d",&K); printf("%d\n",Judge()); }

     return ;

 }