python----动态规划

不能放弃治疗,每天都要进步！！

什么时候使用动态规划呢？

1. 求一个问题的最优解 
2. 大问题可以分解为子问题，子问题还有重叠的更小的子问题 
3. 整体问题最优解取决于子问题的最优解（状态转移方程） 
4. 从上往下分析问题，从下往上解决问题 
5. 讨论底层的边界问题

实例1：割绳子问题

题目：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段 (m和n都是整数，n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]. 请问k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18.

思路：f(n)=max{f(i)f(n-i)}，想发与实现是2个方法，想的时候是递归，实现的时候是从底层至最上面。

实现：1米最1，2米最大是2,3米最大是3,4米最大是4，依次类推，求n米的最大切割

算法复杂度O（n2）

# -*- coding: utf-8 -*
def maxCutString(length):
#这三行代表输入的绳子长度为1,2,3时，发生切割动作，最大的乘积
        if length < 2:
                return 0
        if length == 2:
                return 1
　　　　　if length == 3：
　　　　　　　　　 return 2

#绳子不断切割，当切割到长度为1,2,3时，不能继续切割，直接返回1,2.3
        arr=[0,1,2,3]#记录绳子长度为i时候的最大乘积arr[i]
        for i in range(4,length+1):
                maxs=0
                for j in range(1,i/2+1):
                        mult=arr[j]*arr[i-j]
                        if maxs<mult:
                                maxs=mult

                arr.append(maxs)
        return arr[length]

print maxCutString(8）

实例2：最大连续子项和

思路：

实现：maxtmp记录临时子项和，遇到的每一个数不断累加；当maxtmp为负时，清空，从下一个数开始，从新累加；当累加的数大于maxsum时，将值赋给maxsum

复杂度：O(n)

#-*- coding: utf-8 -*
#!usr/bin/python
def maxSum(lists):
        maxsum=0
        maxtmp=0
        for i in range(len(lists)):
                if maxtmp<=0:
                        maxtmp=lists[i]
                else:
                        maxtmp+=lists[i]
                if maxtmp > maxsum:
                        maxsum=maxtmp
        return maxsum
lists=[1,3,-3,4,-6,5]
print maxSum(lists)

还有一种暴力求解，双层遍历，复杂度O(n2)

#-*- coding: utf-8 -*
#!usr/bin/python
def maxSum(lists):
        maxsum=0
        for i in range(len(lists)):
                maxtmp=0
                for j in range(i,len(lists)):
                        maxtmp+=lists[j]
                        if maxtmp > maxsum:
                                maxsum=maxtmp
        return maxsum
lists=[1,3,-3,4,-6,5]
print maxSum(lists)

实例3：放苹果

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

思路：f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n) 

设f(m,n) 为m个苹果，n个盘子的放法数目，则先对n作讨论，

当n>m：必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)　　

当n<=m：不同的放法可以分成两类：

　　　　1、有至少一个盘子空着，即相当于f(m,n) = f(m,n-1); 

　　　　2、所有盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即f(m,n) = f(m-n,n).

而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n)

递归出口条件说明：

　　　　1.当n=1时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回１；

     2.当没有苹果可放时，定义为１种放法；

　　　　　　递归的两条路，第一条n会逐渐减少，终会到达出口n==1;

　　　　　 第二条m会逐渐减少，因为n>m时，我们会return f(m,m)　所以终会到达出口m==0

#!usr/bin/python
def f(m,n):
    if (m==0 or n==1):
        return 1
    if m<n:
        return f(m,m)
    else:
        return f(m,n-1)+f(m-n,n)
lines=map(int,raw_input().strip().split())
print f(lines[0],lines[1])

实例四：青蛙跳台阶问题

 1.如果青蛙可以一次跳 1 级，也可以一次跳 2 级。问要跳上第 n 级台阶有多少种跳法？

思路:f(n)=f(n-1)+f(n-2)             第n级别只能由n-1级别和第n-2级别的青蛙跳到

#-*- conding: utf-8 -*
#递归解法
def f(n):
    if n==1:
        return 1
    elif n==2:
        return 2
    else:
        return f(n-1)+f(n-2)
print f(8)
#自下到上解法
def f2(n):
    arr=[0,1,2]
    for i in range(3,n+1):
        tmp=arr[i-1]+arr[i-2]
        arr.append(tmp)
    return arr[n]
print f2(8)

 

2.如果青蛙可以一次跳 1 级，也可以一次跳 2 级，一次跳 3 级，…，一次跳 nn 级。问要跳上第 n级台阶有多少种跳法？

 

#.*. coding:utf-8 -*
#递归解法
def f(n):
    if n==1:
        return 1
    else:
        return 2*f(n-1)
print f(8)
#自下而上解法
def f2(n):
    arr=[0,1,2]
    for i in range(3,n+1):
        tmp=2*arr[i-1]
        arr.append(tmp)
    return arr[n]
print f2(8)