【集训队作业2018】【XSY3372】取石子 DP

题目大意

　　有 \(n\) 堆石子，初始时第 \(i\) 堆石子有 \(a_i\) 个。

　　你每次取石子会取 \(k\) 个。在你取完一堆石子之后才能在下一堆中取石子。

　　游戏会进行 \(t\) 轮，每轮会发生以下事件：

• 你可以进行任意次取石子操作。
• 每堆的石子个数会增加，具体的，第 \(i\) 堆的式子个数会增加 \(b_i\) 个。

　　每一堆式子有个上限 \(c_i\)，如果在某个时刻，某堆石子的数量超过上限，就就输了。

　　求在不会输掉游戏的前提下，你最少进行几次取石子操作。

　　\(n,t\leq 200,1\leq k\leq {10}^9,0\leq a_i,b_i\leq c_i\leq {10}^9\)。

题解

　　我们可以在最后加一堆 \(a={10}^9,b={10}^9,c={10}^9\times (t+1)\) 的石子堆，这样每次取石子都一定能取到 \(k\) 个。这可以让我们更方便地计算石子个数。

　　先考虑 \(a_i=0\) 的情况。

　　记 \(sa,sb\) 为 \(a,b\) 的前缀和。

　　记 \(f_{i,j}\) 为前 \(i\) 堆石子，进行了 \(j\) 轮游戏，且每次取石子都取了 \(k\) 个的最小操作次数。

　　记 \(g_{i,j}\) 为前 \(i\) 堆石子，进行了 \(j\) 轮游戏，再取了若干次石子，每次石子都取了 \(k\) 个，且 \([1,i)\) 的石堆中没有石子的最小操作次数。

• 如果不取第 \(i\) 种石子也满足要求（即 \(j\times b_i\leq c_i\) 且 \(f_{i-1,j} \neq \infty\)），转移为

  • \(f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j}\)
  • \(g_{i,j}\leftarrow\lceil\frac{j\times sb_{i-1}}{k}\rceil\)（要求 \(\lceil\frac{j\times sb_{i-1}}{k}\rceil\times k\leq j\times sb_i\)，因为要有足够多的式子给你取）

• 否则枚举最后一次取 \(i\) 的时间 \(l\)，我们的策略是：

  • 先在前 \(l\) 轮取完 \([0,i)\)，再取若干次石子：\(g_{i,l}\)
  • 计算要取多少次第 \(i\) 堆的石子：剩余的石子个数是 \(m=l\times sb_{i}-k\times g_{i,l}\)。为了让第 \(i\) 堆的石子不超过上限，我们还要取 \(x=\lceil\frac{\max(0,m+(j-l)\times b_i-c_i)}{k}\rceil\) 次。如果石子不够（\(x\times k>m\)），则无解。
  • 再决策剩下 \(j-l\) 轮。这部分的贡献和第一种情况类似。

  因此，转移为：

  • \(f_{i,j}\leftarrow g_{i,l}+x+f_{i-1,j-l}\)
  • \(g_{i,j}\leftarrow g_{i,l}+x+\lceil\frac{(j-l)\times sb_{i-1}}{k}\rceil\)

　　时间复杂度为 \(O(nt^2)\)。

　　\(a_i\neq 0\) 的情况和 \(a_i=0\) 的情况类似，只需要在某些计算石子个数的地方加上 \(a_i\) 即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef long double ldb;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
void upmin(ll &a,ll b)
{
	a=min(a,b);
}
const int N=210;
const ll inf=0x3fffffffffffffffll;
ll f[N][N][2];
ll g[N][N][2];
ll a[N],b[N],c[N],sa[N],sb[N];
ll ceil(ll a,ll b)
{
	return (a+b-1)/b;
}
int n,t;
ll k;
int main()
{
	open("c");
	scanf("%d%d%lld",&n,&t,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&a[i],&b[i],&c[i]);
		sa[i]=sa[i-1]+a[i];
		sb[i]=sb[i-1]+b[i];
	}
//	printf("%lld\n",sa[n]);
	n++;
	a[n]=1000000000ll;
	b[n]=1000000000ll;
	c[n]=1000000000ll*(t+1);
	sa[n]=sa[n-1]+a[n];
	sb[n]=sb[n-1]+b[n];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=t;j++)
		{
			f[i][j][0]=g[i][j][0]=inf;
			if(0*a[i]+j*b[i]<=c[i]&&f[i-1][j][0]!=inf)
			{
				upmin(f[i][j][0],f[i-1][j][0]);
				if(ceil(j*sb[i-1]+0*sa[i-1],k)*k<=0*sa[i]+j*sb[i])
					upmin(g[i][j][0],ceil(j*sb[i-1]+0*sa[i-1],k));
			}
			for(int l=1;l<j;l++)
				if(f[i-1][j-l][0]!=inf&&g[i][l][0]!=inf)
				{
					ll m=0*sa[i]+l*sb[i]-k*g[i][l][0];
					ll x=ceil(max(0ll,m+(j-l)*b[i]-c[i]),k);
					if(__int128(k)*x>m)
						continue;
					upmin(f[i][j][0],g[i][l][0]+x+f[i-1][j-l][0]);
					if(ceil((j-l)*sb[i-1],k)*k<=m-x*k+(j-l)*sb[i])
						upmin(g[i][j][0],g[i][l][0]+x+ceil((j-l)*sb[i-1],k));
				}
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=t;j++)
		{
			f[i][j][1]=g[i][j][1]=inf;
			if(1*a[i]+j*b[i]<=c[i]&&f[i-1][j][1]!=inf)
			{
				upmin(f[i][j][1],f[i-1][j][1]);
				if(ceil(j*sb[i-1]+1*sa[i-1],k)*k<=1*sa[i]+j*sb[i])
					upmin(g[i][j][1],ceil(j*sb[i-1]+1*sa[i-1],k));
			}
			for(int l=0;l<j;l++)
				if(f[i-1][j-l][0]!=inf&&g[i][l][1]!=inf)
				{
					ll m=1*sa[i]+l*sb[i]-k*g[i][l][1];
					ll x=ceil(max(0ll,m+(j-l)*b[i]-c[i]),k);
					if(__int128(k)*x>m)
						continue;
					upmin(f[i][j][1],g[i][l][1]+x+f[i-1][j-l][0]);
					if(ceil((j-l)*sb[i-1],k)*k<=m-x*k+(j-l)*sb[i])
						upmin(g[i][j][1],g[i][l][1]+x+ceil((j-l)*sb[i-1],k));
				}
		}
	ll ans=f[n][t][1];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}