[NOI2007]货币兑换 --- DP + 斜率优化（CDQ分治）

[NOI2007]货币兑换

题目描述：

小 Y 最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A 纪念券（以下简称 A 券）和 B 纪念券（以下简称 B 券）。

每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。

每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。

我们记录第 K 天中 A 券和 B 券的价值分别为 \(A_{k}\)和 \(B_{k}\)​ （元/单位金券）。

为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法。

比例交易法分为两个方面：

a) 卖出金券：顾客提供一个[0，100]内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将 OP%的 A 券和 OP%的 B 券以当时的价值兑换为人民币；

b) 买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为IP 的金券，

并且，满足提供给顾客的 A 券和 B 券的比例在第 K 天恰好为 \(Rate_{k}\) ；

例如，假定接下来 3 天内的 \(A_{k}\) 、 \(B_{k}\)​ 、 \(Rate_{k}\) 的变化分别为：

时间 \(A_{k} \;\;B_{k}\;\;Rate_{k}\)

第一天 1 1 1

第二天 1 2 2

第三天 2 2 3

假定在第一天时，用户手中有 100 元人民币但是没有任何金券。

用户可以执行以下的操作：

时间         用户操作   人民币(元) A 券的数量 B 券的数量

开户        无              100             0                0

第一天    买入100元  0                50              50

第二天    卖出50%    75              25              25

第二天    买入60元   15               55              40

第三天    卖出100%  205             0               0

注意到，同一天内可以进行多次操作。

小 Y 是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经知道了未来 N 天内的 A 券和 B 券的价值以及 Rate。

他还希望能够计算出来，如果开始时拥有 S 元钱，那么 N 天后最多能够获得多少元钱。

输入格式：

第一行两个正整数 N、S，分别表示小 Y 能预知的天数以及初始时拥有的钱数。

接下来 N 行，第 K 行三个实数 \(A_{k}\;\;B_{k}\;\;Rate_{k}\)，意义如题目中所述。

输出格式：

只有一个实数 MaxProfit，表示第 N 天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留 3 位小数。

本题没有部分分，你的程序的输出只有和标准答案相差不超过 \(10^{-3}\) 时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

测试数据设计使得精度误差不会超过 \(10^{-7}\)。（丧心病狂）

对于 40%的测试数据，满足 N ≤ 10；

对于 60%的测试数据，满足 N ≤ 1 000；

对于 100%的测试数据，满足 N ≤ 100 000；

对于 100%的测试数据，满足：

0 < \(A_{k}\) ≤ 10；

0 < \(B_{k}\)​ ≤ 10；

0 < \(Rate_{k}\)​ ≤ 100

MaxProfit ≤ \(10^{9}\) ；

输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。

首先，题面中的“比例交易法”非常的烦人，能不能将其转化掉呢？

发现是可以的。

贪心可知：能买就全部买，能卖就全部卖

手上要么全是钱，要么全是券。

有了这个结论，就可以统一用一样的钱来表示每天的状态。

那么，\(dp(i)\)表示到第\(i\)天为止能获得的最多钱数。

转移呢？

如果这一天什么都不做，那么\(dp(i)=dp(i-1)\)

如果这一天选择卖股票，那么它一定要在某天买股票，因此，枚举买股票的那天来转移

设\(fa(i), fb(i)\)表示第\(i\)天用钱能换到的\(A,B\)券数量。

设\(a(i),b(i)\)表示第\(i\)天\(A,B\)券的价格

那么有：\(dp(i)=max(fa(j)*a(i)+fb(j)*b(i))(1<=j<=i-1)\)

\(fa(j),fb(j)\)怎么表达？

\(numa*a(j):numb*b(j)=1:rate(j)\)

\(numa=\frac{rate(j)}{a(j)*rate(j)+b(j)}\)

\(numb=\frac{1}{a(j)*rate(j)+b(j)}\)

\(fa(j)=numa*dp(j)\)

\(fb(j)=numb*dp(j)\)

这是一个十分不错的\(O(n^{2})\)算法，有60分已经非常的不错了。

能不能更近一步？

\(\frac{dp(i)}{b(i)}=min(\frac{fa(j)*a(i)}{b(i)}+fb(j))(1<=j<=i-1)\)

这是一个十分像斜率优化的式子。

其中，\(k\)为\(\frac{-a(i)}{b(i)}\)，没有单调性

其中，\(x\)为\(fa(j)\)，没有单调性

也就是说，插入的点可能在凸包内，查询要二分。

很自然的，可以想到用平衡树来解决这个问题。

但，既然CDQ为了代替平衡树而提出了CDQ分治，自然应该选择CDQ分治了。

CDQ分治是如何做的呢？

设\((x(i),y(i))\)表示斜率优化的点的坐标

那么，在\(Solve(l,r)\)中，首先把左区间的点和右区间的点分离出来（注意不要破坏本来的序）。

由于右区间的点会对左区间造成贡献，而左区间不会，因此考虑让左区间形成凸包，右区间在上面查询。

既然是分治，复杂度做到\(O(n)\)自然是好的。

因此，让左区间维护水平序，就可以在\(O(n)\)的时间内建出凸包

而如果右区间能做到斜率单调，那么就可以用单调队列做到\(O(n)\)查询

因此，右区间需要按斜率排序

？？？一段区间内维护两种序，这是可能的吗？

可能的，不难注意到是左区间在不断地增加，而右区间在不断减少。

因此，完全可以在外部给斜率排好序，在内部慢慢的归并来维护水平序。

操作顺序：

1.把原本处于\((l,mid),(mid+1,r)\)区间的数有序的提取出来

2.\(Solve(l,mid)\)保证左区间满足水平序

3.\(O(n)\)建出凸包

4.\(O(n)\)查询，更新右区间的点

5.\(Solve(mid + 1, r)\)递归更新右区间，同时让右区间拥有水平序

6.\(O(n)\)合并左区间和右区间，让整个区间拥有水平序

7.\(return\)

无论什么操作，CDQ分治的复杂度都是\(O(n)\)

根据主定理，复杂度\(O(n \log n)\)

补充：

注意分治内各个操作的顺序

注意精度

注意斜率坑人

注意常数（虽然感觉是个人都能过的常数限制）

CDQ分治大法好！！！（代码在此）