P、NP、NP-Complete、NP-hard问题

1 遇到难题怎么办？

遇到一个问题，通常我们思考的是如何解它。
于是就有了贪心、分治、动态规划等等算法;但也有一些问题，挠破了头也想不到高效的算法。
怎么办？

假如我们已经知道有那么几个问题，这个世界上所有的聪明人都没能找到高效的算法。
而且我们能把目前的问题通过等价转化的方式，变成这些已知问题的子问题。
这样就能证明我们不笨。

这个将一个问题，等价转换成另一个问题的子问题的方式，叫做归约 (Reduction).

将问题A归约成问题B的子集

2 什么是P、NP、NP-Complete和NP-hard

这些概念都是用来描述一个问题的难度的。即一个问题能否在以上时间内求解，或者验证一个解是否符合一个问题。
在下面的讨论中，我们假设问题的输入规模是n，那么问题的解决时间，或者验证时间都应该是n的一个函数，记为$f(n)$.

P，即Polynomial time，多项式时间。f(n)=a0+a1*n1+a2*n2+a3*n3+…. 。
意思是说给定一个问题，能在多项式时间内找到符合该问题的解。此时，问题的时间复杂度是O(nj).

那不是多项式时间内能求解的问题，就是NP问题吗？ 不是的

首先，要理解验证解的概念。给定一个问题，我们可能不知道如何解，但如果通过连蒙带猜，得到了一个解。
我们也可以验证这个解是否满足问题。 NP 就是指能在多项式时间内验证一个解是否满足的一类问题。
所以，P和NP并非补集关系，而是两个完全不同的分类方式。

显然，所有P类问题都能在多项式时间内验证一个解。因此 P ⊆ NP。
于是人们就在想NP的问题里面，有最难的问题吗？它会是什么？
结论是，NP中有最难的一类问题。这类问题就是 NP-Complete 问题。
最难，就意味着所有NP类的问题都能归约到这个问题上。该问题本身也是NP问题。

所以，NP-Complete问题的形式化定义是： L是NP-Complete问题，当其满足如下两个条件：

L ∈ NP
任意L1 ∈ NP, L1 可以归约到 L

对于只满足条件2,不管满不满足条件1的问题，我们称为NP-hard问题，
即非常难，且不能在多项式时间内验证解是否正确的问题。（感谢luse兄的指正）

2.1 NP-hard

这里在说说NP-hard， NP-hard实际上是“at least as hard as an NP-complete problem”,即这个问题至少和NP完全问题一样难，所以不用满足上面的条件1.

他们四者的关系，可以用下图描述：

四者之间的关系

3 P = NP ????

计算机科学界最经典，争论最多的一个问题就是： P和NP等价吗？
实际上，就是说找到一个问题的解的难度，和验证一个解是否满足某个问题的难度相同吗？

虽然目前，主流认为P是NP的子集，但因为还没办法完全验证这一点，因此不能盖棺定论。
据说，清华大学的姚期智老师也在从事探索P和NP关系的研究上。
在针对该问题的最前沿研究上，也是各执一词。参见历史上针对P和VP是否等价的研究结论。

4 参考

http://en.wikipedia.org/wiki/P_versus_NP_problem
http://en.wikipedia.org/wiki/NP-complete
http://www.cc.gatech.edu/~howardz/micellaneous/gre_cs_sub/np_complete.htm
http://www.matrix67.com/blog/archives/105 （有例子的一篇中文介绍，感谢靖难兄推荐）
http://www.win.tue.nl/~gwoegi/P-versus-NP.htm