HDU 6333.Problem B. Harvest of Apples-组合数C(n,0)到C(n,m)求和-组合数学(逆元)+莫队 ((2018 Multi-University Training Contest 4 1002))

2018 Multi-University Training Contest 4

6333.Problem B. Harvest of Apples

题意很好懂，就是组合数求和。

官方题解:

我来叨叨一些东西。

这题肯定不能一个一个遍历求和，这样就上天了。。。

解释一下官方题解的意思。

为什么 sum(n,m)=2*sum(n-1,m)-c(n-1,m)。

因为c(n,m)=c(n-1,m)+c(n-1,m-1)，至于为什么成立，不懂的百度一下组合数和杨辉三角吧。。。

sum(n,m)=c(n,0)+c(n-1,1)+c(n-1,0)+c(n-1,2)+c(n-1,1)+...+c(n-1,m)+c(n-1,m-1)//因为c(n,0)=c(n-1,0)==1

　　　　 =c(n-1,0)+c(n-1,0)+c(n-1,1)+c(n-1,1)+c(n-1,2)+c(n-1,2)+...+c(n-1,m-1)+c(n-1,m-1)+c(n-1,m)

　　  =2*sum(n-1,m)-c(n-1,m)

OK，解释完了，然后怎么做呢？

通过上面推出来的公式，我们就可以在O(1)的复杂度里由推出。这个就可以用莫队写了。

关于莫队，具体的去看别人的博客，人家写的很好，我语文不好+懒，不想写。。。

要注意莫队的时候，while里的判断条件是当前指针对应的值与要求得的数的大小的关系，while(N<que[i].n) res=(2*res-C(N++,M)+mod)%mod;就假设，我当前的指针对应的值为sum(n-1,m)，我需要得到的结果为sum(n,m),当前的N为n-1，所以我需要用公式sum(n,m)=2*sum(n-1,m)-c(n-1,m)，经过这个操作，N就变成n了(因为N++)。

大体就这些，其他的就是关于组合数求解的东西了，这些代码里注释了。

代码:

 //1002-6333-组合数C(n,0)到C(n,m)求和-组合数学+莫队
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<bitset>
 #include<cassert>
 #include<cctype>
 #include<cmath>
 #include<cstdlib>
 #include<ctime>
 #include<deque>
 #include<iomanip>
 #include<list>
 #include<map>
 #include<queue>
 #include<set>
 #include<stack>
 #include<vector>
 using namespace std;
 typedef long long ll;

 const double PI=acos(-1.0);
 const double eps=1e-;
 const ll mod=1e9+;
 const int inf=0x3f3f3f3f;
 const int maxn=1e5+;
 #define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

 int pos[maxn];
 ll inv[maxn],f[maxn],ans[maxn];

 struct node{
     int n,m,id;

     bool operator <(const node &a) const{
         if(pos[n]!=pos[a.n]) return n<a.n;
         return m<a.m;
     }

 }que[maxn];
 /*
 关于逆元
 费马小定理:对于a和素数p，a^(p-1)恒等于1。
 逆元的定义:对于正整数a和m，如果有a*x恒等于1，那么把这个同余方程中x的最小正整数解叫做a模m的逆元。一般用欧几里得扩展来做：ax+by=1;称a和b互为逆元
 a^(p−1)=a^(p−2)∗a,所以有a^(p−2)∗a%p≡1,对比逆元的定义可得，a^(p−2)是a的逆元
 所以组合数预处理------>阶乘逆元,n!%mod/[(n-m)!%mod*m!%mod]，设n!%mod为A，(n-m)!%mod的逆元为B，m!%mod的逆元为C，所以组合数c(n,m)%mod=A*B%mod*C%mod,就酱~
 */
 ll qpow(ll a,ll b)//快速幂a^b%mod
 {
     ll res=;
     while(b){
         if(b&) res=(res*a)%mod;
         a=(a*a)%mod;
         b>>=;
     }
     return res;
 }

 void init()
 {
     f[]=;
     for(int i=;i<maxn;i++)//预处理出来i!%mod,就是c(n,m)中n!%mod先预处理
         f[i]=(f[i-]*i)%mod;
     for(int i=;i<maxn;i++)
         inv[i]=qpow(f[i],mod-);//inv中存的是逆元为a^(p-2)
 }

 ll C(int n,int m)//求C(n,m)
 {
     if(n<||m<||m>n) return ;
     if(m==||m==n) return ;
     return f[n]*inv[n-m]%mod*inv[m]%mod;//就是A*B%mod*C%mod
 }

 ll res=;

 int main()
 {
     init();
     int T;
     scanf("%d",&T);
     int block=(int)sqrt(maxn);
     for(int i=;i<=maxn-;i++)
         pos[i]=(i-)/block;
     for(int i=;i<=T;i++){
         scanf("%d%d",&que[i].n,&que[i].m);
         que[i].id=i;
     }
     sort(que+,que++T);
     int N=,M=;
     for(int i=;i<=T;i++){
         while(N<que[i].n) res=(*res-C(N++,M)+mod)%mod;
         while(N>que[i].n) res=((res+C(--N,M))*inv[])%mod;
         while(M<que[i].m) res=(res+C(N,++M))%mod;
         while(M>que[i].m) res=(res-C(N,M--)+mod)%mod;
         ans[que[i].id]=res;
     }
     for(int i=;i<=T;i++){
         printf("%lld\n",ans[i]);
     }
     return ;
 }