证明tmult_ok的正确性

csapp page124. practice problem 2.35

/* Determine whether arguments can be multiplied without overflow */
int tmult_ok(int x, int y){
    int p = x*y;
    /* Either x is zero, or dividing p by x gives y */
    return !x || p/x == y;
}

函数 tmult_ok 的功能是检查两个二补数相乘会不会溢出， 逻辑是，要么 x 为零， 或者 乘积 p 除以 x 等于另一个乘数 y 的话，就说明不会溢出。

这题要求给出这个函数正确性的数学证明。首先证明当x=0这个情况的正确性。然后考虑w位的数字(w不等于0) 有 y, p, 和 q, 其中 p 是x, y执行了二补码乘法后的结果， q 是 p/x 的值。

书中给出三条线索，分别给出这三条线索的证明即可证明这个函数的正确性。

1. 证明: x和y的整数相乘结果可以被写成 \(x*y = p + t*2^w\) 形式， 当且仅当 t != 0 的时候，p溢出。
2. 证明: p 可以被写成 \(p = x * q + r\), 其中\(|r| < |x|\).
3. 证明: 当且仅当 \(r = t = 0\) 的时候 \(q = y\).

答案是这么证明的:

1.因为x,y都是w位二补码表示的数，所以他们的乘积最多要用2w位表示，因为:

\(-2^{w-1} <= x, y <=2^{w-1} - 1\) 注：这是二补码的取值范围

所以 x*y 就要   大于等于 \(-2^{w-1} * (2^{w-1} - 1)\) 就等于 \(-2^{2*w - 1} + 2^{w - 1}\) 注: 其实就是Tmax*Tmin
                     小于等于 \((-2^{w - 1})^2\) 就等于 \(2^{2*w - 2}\) 注: 其实就是Tmin*Tmin，可以证明Tmax^2 没有 Tmin^2大

看见2的次方数是2w起跳的，就说明肯定得要2w位才能表示了。所以 x*y 理应是要用 2w 位表示的(但是2w位是溢出的,暂时不管)，现在设 u 等于该乘积低w位的无符号形式，v 等于该乘积高w位的二补码形式。
那么，根据公式2.3 即二进制到二补码的转换公式可以得出 \(x*y = v*2^w + u\) 这个式子乍一看匪夷所思，怎么能把一个位向量劈成两半，前w位按二补码算然后乘以\(2^w\) ，后w位按无符号算然后两个部分加起来怎么刚好就是x和y的乘积??
其实只要根据二进制转二补码的公式细心推倒，马上就可以证明这个结论:

我们还知道 \(u = T2U_{2w}(p)\) 这里p是二补码乘积，因为实际上不管乘积结果有没有溢出，unsigned形式和tow's complement形式的乘积在w位上是一模一样的，这点在数的2.18给出了证明。
所以根据公式T2U 得 \(u = p_{w-1} * 2^w + p\)， 把u 带入之前的 \(x*y = v*2^w + u\) 这里， 化简可以得到: \(x*y = 2^w * (v + p_{w-1}) + p\), 此时我们设 \(t = v + p_{w-1}\)，公式变为：\(x*y = t* 2^w + p\)

这里我们就可以看出，当且仅当 t = 0 的时候， x*y 才等于p，t 不等于 0 的时候乘积是溢出的。到这里证明了上面的第1条。

2.因为无论 x*y 的值 p 有没有溢出，总之它是个整数，那么只要 p 是个整数，它除以一个非零整数 x 必然会得到一个商(q)和一个余数(r) 使得 \(p = x * q + r\) 其中 |r| < |x|
这里取绝对值是因为r 和 x 的符号可能不一样，比如 -7 / 2 得 -3 余 -1, |-1| < |2|。 这里证明了第2条。

3. 如果 q = y 根据 \(p = x*q+r\) 得出 \(p = x*y+r\) 其中 \(x*y = t * 2^w + p\) 所以 \(p = t*2^w + p + r\), 两边消去 p 以后得到 \(t*2^w = -r\) 要让这个等式成立，有两种情况，要么等号两边值相等，要么两边都为零。
在第2条的证明中，我们得出 |r| < |x|, 而x是二补码，所以绝对值的最大值是 2^w 所以 |r| < \(2^w\)， 回到这里，等式左边出现了\(2^w\) 而 r 要比\(2^w\) 小，可见其值必不相等，则必须是为零的情况。所以必须 r = t = 0

根据第1条证明，我们知道要想乘积不溢出，t 必须为 0， 根据第三条，当且仅当 t 为 0 的时候 \(p / x = y\) 用程序表示就是 （!x || p / x == q） 这个逻辑被证明是正确的。

这样3也证明了，再看x=0的情况，x等于零的时候乘积为零肯定不会溢出嘛，所以这个程序是正确可靠的。证毕。