【NOIP2009】Hankson的趣味题

题意：给出 \(a_0\), \(a_1\), \(b_0\), \(b_1\), 求出正整数 \(x\) 的个数，\(x\) 满足：

\(gcd(x,a_0)=a_1\) , \(lcm(x, b_0)=b_1\) 。

题解：预备知识：设 \(a= {p_1}^{a_1}{p_2}^{{a_2}}{p_3}^{{a_3}}...{p_n}^{{a_n}}\)，\(b= {p_1}^{b_1}{p_2}^{{b_2}}{p_3}^{{a_3}}...{p_n}^{{b_n}}\) ，则有：

\(gcd(a,b)={p_1}^{min(a_1,b_1)}{p_2}^{min(a_2,b_2)}{p_3}^{min(a_3,b_3)}...{p_n}^{min(a_n,b_n)}\)

\(lcm(a,b)={p_1}^{max(a_1,b_1)}{p_2}^{max(a_2,b_2)}{p_3}^{max(a_3,b_3)}...{p_n}^{max(a_n,b_n)}\)

根据题目结合上面的性质可以得到如下做法：

考虑枚举质因数 \({p_x}\) ，设 \(a_0\) 的质因数中 \(p_x\) 的系数为 \(t_1\) ，\(a_1\) 的系数为 \(t_2\) , \(x\) 的系数为 \(t\) ，由前面性质可得：\(min(t, t_1)=t_2\) 。分情况讨论：如果 \(t_1 < t_2\) ，那么无解；如果 \(t_1=t_2\) , 那么 \(t\) 要满足 \(t \geq t_2\) ；如果 \(t_1 \gt t_2\) ，那么 \(t = t_2\) .

同理，设 \(b_0\) 的质因数中 \(p_x\) 的系数为 \(t_3\) ，\(a_1\) 的系数为 \(t_4\) , \(x\) 的系数为 \(t\) ，由前面性质可得：\(max(t, t_3)=t_4\) 。分情况讨论：如果 \(t_3 \gt t_4\) ，那么无解；如果 \(t_3=t_4\) , 那么 \(t\) 要满足 \(t \leq t_4\) ；如果 \(t_3 \lt t_4\) ，那么 \(t = t_4\) .

把上面两个合并分类讨论可得：当 \(t_2=t_1\) 且 \(t_4=t_3\) 且 \(t_4 \ge t_2\) ，此时 \(t_2 \le t \le t_4\) , \(ans\) *= \(t_4-t_2+1\) .

下面是无解的 \(3\) 种情况（可简化）：

1. \(t_2=t_1\) 且 \(t_4=t_3\) 且 \(t_4 \lt t_2\)，无解
2. \(t_2 \lt t_1\) 或 \(t_4 \gt t_3\) ，无解
3. \(t_2 \gt t_1\) 且 \(t_4 \lt t_3\) 且 $ t_2 ≠ t_4$，无解

其他情况对 \(ans\) 无影响 ( \(ans\) *= \(1\) ).

枚举质因数范围为 \(\sqrt{b_1}\) （仅枚举 \(b_1\) 的质因数），故总时间复杂度约为 $ O(n\sqrt{b_1})$ ，可以通过。

#include<cstdio>
inline int _read()
{
    int x=0; char c;
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
    return x;
}
const int N=100000;
bool b[N];
int prime[N],tot,a0,a1,b0,b1,ans;
void GetPrime()
{
    for(int i=2;i<=50000;i++)
        if(!b[i])
        {
            prime[++tot]=i;
            for(long long j=1ll*i*i;j<=50000;j+=i) b[j]=true;
        }
}
void work(int p)
{
    int t1=0,t2=0,t3=0,t4=0;
    for(;a0%p==0;a0/=p)t1++;//求次数
    for(;a1%p==0;a1/=p)t2++;
    for(;b0%p==0;b0/=p)t3++;
    for(;b1%p==0;b1/=p)t4++;
    if(t1==t2&&t3==t4)
    {
        if(t1<=t3) ans*=(t3-t1+1);
        else ans=0; //ans=0即无解
    }
    if(t1<t2||t3>t4) ans=0;
    if(t1>t2&&t3<t4&&t2!=t4) ans=0;
}
int main()
{
    int T=_read();
    GetPrime(); //预处理质数
    while(T--)
    {
        ans=1;
        a0=_read(),a1=_read(),b0=_read(),b1=_read();
        for(int i=1;i<=tot;i++)
            if(b1%prime[i]==0) work(prime[i]);
            //枚举b1的质因数
        if(b1>1) work(b1);
        printf("%d\n",ans);
    }
}